Theorem mnd1 13742

Description: The (smallest) structure representing a trivial monoid consists of one element. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 11-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnd1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
mnd1	|- ( I e. V -> M e. Mnd )

Proof of Theorem mnd1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnd1.m	. . . 4 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	sgrp1 13706	. . 3 |- ( I e. V -> M e. Smgrp )
3		df-ov 6081	. . . . . 6 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
4		opexg 4366	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
5	4	anidms 401	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
6		fvsng 5905	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
7	5, 6	mpancom 426	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
8	3, 7	eqtrid 2283	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
9		oveq2 6086	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
10		id 19	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> y = I )
11	9, 10	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
12		oveq1 6085	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
13	12, 10	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
14	11, 13	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( y = I -> ( ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I /\ ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) ) )
15	14	ralsng 3748	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I /\ ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) ) )
16	8, 8, 15	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( I e. V -> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) )
17		oveq1 6085	. . . . . . 7 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) )
18	17	eqeq1d 2247	. . . . . 6 |- ( x = I -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y ) )
19	18	ovanraleqv 6102	. . . . 5 |- ( x = I -> ( A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) ) )
20	19	rexsng 3749	. . . 4 |- ( I e. V -> ( E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) ) )
21	16, 20	mpbird 167	. . 3 |- ( I e. V -> E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) )
22		snexg 4319	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
23		opexg 4366	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
24	5, 23	mpancom 426	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
25		snexg 4319	. . . . . . 7 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
27	1	grpbaseg 13461	. . . . . 6 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
28	22, 26, 27	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
29	1	grpplusgg 13462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
30	22, 26, 29	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
31	30	oveqd 6095	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
32	31	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( x ( +g ` M ) y ) = y ) )
33	30	oveqd 6095	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = ( y ( +g ` M ) x ) )
34	33	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y <-> ( y ( +g ` M ) x ) = y ) )
35	32, 34	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
36	28, 35	raleqbidv 2765	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
37	28, 36	rexeqbidv 2766	. . . 4 |- ( I e. V -> ( E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
38	37	anbi2d 468	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( M e. Smgrp /\ E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) ) <-> ( M e. Smgrp /\ E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) ) )
39	2, 21, 38	mpbi2and 956	. 2 |- ( I e. V -> ( M e. Smgrp /\ E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
40		eqid 2238	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
41		eqid 2238	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
42	40, 41	ismnddef 13711	. 2 |- ( M e. Mnd <-> ( M e. Smgrp /\ E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
43	39, 42	sylibr 134	1 |- ( I e. V -> M e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   {csn 3708   {cpr 3709   <.cop 3711   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   ndxcnx 13330   Basecbs 13333   +g cplusg 13411  Smgrpcsgrp 13696   Mndcmnd 13709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-ov 6081  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-ltxr 8358  df-inn 9287  df-2 9345  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-plusg 13424  df-mgm 13656  df-sgrp 13697  df-mnd 13710

This theorem is referenced by:  grp1  13891  ring1  14340