Theorem mnd1 13027

Description: The (smallest) structure representing a trivial monoid consists of one element. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 11-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnd1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
mnd1	|- ( I e. V -> M e. Mnd )

Proof of Theorem mnd1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnd1.m	. . . 4 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	sgrp1 12994	. . 3 |- ( I e. V -> M e. Smgrp )
3		df-ov 5921	. . . . . 6 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
4		opexg 4257	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
5	4	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
6		fvsng 5754	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
7	5, 6	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
8	3, 7	eqtrid 2238	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
9		oveq2 5926	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
10		id 19	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> y = I )
11	9, 10	eqeq12d 2208	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
12		oveq1 5925	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
13	12, 10	eqeq12d 2208	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
14	11, 13	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( y = I -> ( ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I /\ ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) ) )
15	14	ralsng 3658	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I /\ ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) ) )
16	8, 8, 15	mpbir2and 946	. . . 4 |- ( I e. V -> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) )
17		oveq1 5925	. . . . . . 7 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) )
18	17	eqeq1d 2202	. . . . . 6 |- ( x = I -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y ) )
19	18	ovanraleqv 5942	. . . . 5 |- ( x = I -> ( A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) ) )
20	19	rexsng 3659	. . . 4 |- ( I e. V -> ( E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) ) )
21	16, 20	mpbird 167	. . 3 |- ( I e. V -> E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) )
22		snexg 4213	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
23		opexg 4257	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
24	5, 23	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
25		snexg 4213	. . . . . . 7 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
27	1	grpbaseg 12744	. . . . . 6 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
28	22, 26, 27	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
29	1	grpplusgg 12745	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
30	22, 26, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
31	30	oveqd 5935	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
32	31	eqeq1d 2202	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( x ( +g ` M ) y ) = y ) )
33	30	oveqd 5935	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = ( y ( +g ` M ) x ) )
34	33	eqeq1d 2202	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y <-> ( y ( +g ` M ) x ) = y ) )
35	32, 34	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
36	28, 35	raleqbidv 2706	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
37	28, 36	rexeqbidv 2707	. . . 4 |- ( I e. V -> ( E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
38	37	anbi2d 464	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( M e. Smgrp /\ E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) ) <-> ( M e. Smgrp /\ E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) ) )
39	2, 21, 38	mpbi2and 945	. 2 |- ( I e. V -> ( M e. Smgrp /\ E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
40		eqid 2193	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
41		eqid 2193	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
42	40, 41	ismnddef 12999	. 2 |- ( M e. Mnd <-> ( M e. Smgrp /\ E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
43	39, 42	sylibr 134	1 |- ( I e. V -> M e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   {csn 3618   {cpr 3619   <.cop 3621   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   ndxcnx 12615   Basecbs 12618   +g cplusg 12695  Smgrpcsgrp 12984   Mndcmnd 12997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998

This theorem is referenced by:  grp1  13178  ring1  13555