Theorem mnd1 12708

Description: The (smallest) structure representing a trivial monoid consists of one element. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 11-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnd1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
mnd1	|- ( I e. V -> M e. Mnd )

Proof of Theorem mnd1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnd1.m	. . . 4 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	sgrp1 12680	. . 3 |- ( I e. V -> M e. Smgrp )
3		df-ov 5868	. . . . . 6 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
4		opexg 4222	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
5	4	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
6		fvsng 5704	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
7	5, 6	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
8	3, 7	eqtrid 2220	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
9		oveq2 5873	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
10		id 19	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> y = I )
11	9, 10	eqeq12d 2190	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
12		oveq1 5872	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
13	12, 10	eqeq12d 2190	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
14	11, 13	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( y = I -> ( ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I /\ ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) ) )
15	14	ralsng 3629	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I /\ ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) ) )
16	8, 8, 15	mpbir2and 944	. . . 4 |- ( I e. V -> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) )
17		oveq1 5872	. . . . . . 7 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) )
18	17	eqeq1d 2184	. . . . . 6 |- ( x = I -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y ) )
19	18	ovanraleqv 5889	. . . . 5 |- ( x = I -> ( A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) ) )
20	19	rexsng 3630	. . . 4 |- ( I e. V -> ( E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) ) )
21	16, 20	mpbird 167	. . 3 |- ( I e. V -> E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) )
22		snexg 4179	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
23		opexg 4222	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
24	5, 23	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
25		snexg 4179	. . . . . . 7 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
27	1	grpbaseg 12537	. . . . . 6 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
28	22, 26, 27	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
29	1	grpplusgg 12538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
30	22, 26, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
31	30	oveqd 5882	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
32	31	eqeq1d 2184	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( x ( +g ` M ) y ) = y ) )
33	30	oveqd 5882	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = ( y ( +g ` M ) x ) )
34	33	eqeq1d 2184	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y <-> ( y ( +g ` M ) x ) = y ) )
35	32, 34	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
36	28, 35	raleqbidv 2682	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
37	28, 36	rexeqbidv 2683	. . . 4 |- ( I e. V -> ( E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
38	37	anbi2d 464	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( M e. Smgrp /\ E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) ) <-> ( M e. Smgrp /\ E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) ) )
39	2, 21, 38	mpbi2and 943	. 2 |- ( I e. V -> ( M e. Smgrp /\ E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
40		eqid 2175	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
41		eqid 2175	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
42	40, 41	ismnddef 12683	. 2 |- ( M e. Mnd <-> ( M e. Smgrp /\ E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
43	39, 42	sylibr 134	1 |- ( I e. V -> M e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   _Vcvv 2735   {csn 3589   {cpr 3590   <.cop 3592   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   ndxcnx 12424   Basecbs 12427   +g cplusg 12491  Smgrpcsgrp 12671   Mndcmnd 12681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-ov 5868  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-ltxr 7971  df-inn 8891  df-2 8949  df-ndx 12430  df-slot 12431  df-base 12433  df-plusg 12504  df-mgm 12639  df-sgrp 12672  df-mnd 12682

This theorem is referenced by:  grp1  12835  ring1  13030