Theorem mnd1 13710

Description: The (smallest) structure representing a trivial monoid consists of one element. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 11-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnd1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
mnd1	|- ( I e. V -> M e. Mnd )

Proof of Theorem mnd1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnd1.m	. . . 4 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	sgrp1 13674	. . 3 |- ( I e. V -> M e. Smgrp )
3		df-ov 6061	. . . . . 6 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
4		opexg 4349	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
5	4	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
6		fvsng 5885	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
7	5, 6	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
8	3, 7	eqtrid 2279	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
9		oveq2 6066	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
10		id 19	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> y = I )
11	9, 10	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
12		oveq1 6065	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
13	12, 10	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
14	11, 13	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( y = I -> ( ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I /\ ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) ) )
15	14	ralsng 3734	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I /\ ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) ) )
16	8, 8, 15	mpbir2and 953	. . . 4 |- ( I e. V -> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) )
17		oveq1 6065	. . . . . . 7 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) )
18	17	eqeq1d 2243	. . . . . 6 |- ( x = I -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y ) )
19	18	ovanraleqv 6082	. . . . 5 |- ( x = I -> ( A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) ) )
20	19	rexsng 3735	. . . 4 |- ( I e. V -> ( E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) ) )
21	16, 20	mpbird 167	. . 3 |- ( I e. V -> E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) )
22		snexg 4302	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
23		opexg 4349	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
24	5, 23	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
25		snexg 4302	. . . . . . 7 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
27	1	grpbaseg 13424	. . . . . 6 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
28	22, 26, 27	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
29	1	grpplusgg 13425	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
30	22, 26, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
31	30	oveqd 6075	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
32	31	eqeq1d 2243	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( x ( +g ` M ) y ) = y ) )
33	30	oveqd 6075	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = ( y ( +g ` M ) x ) )
34	33	eqeq1d 2243	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y <-> ( y ( +g ` M ) x ) = y ) )
35	32, 34	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
36	28, 35	raleqbidv 2759	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
37	28, 36	rexeqbidv 2760	. . . 4 |- ( I e. V -> ( E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
38	37	anbi2d 464	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( M e. Smgrp /\ E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) ) <-> ( M e. Smgrp /\ E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) ) )
39	2, 21, 38	mpbi2and 952	. 2 |- ( I e. V -> ( M e. Smgrp /\ E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
40		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
41		eqid 2234	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
42	40, 41	ismnddef 13679	. 2 |- ( M e. Mnd <-> ( M e. Smgrp /\ E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
43	39, 42	sylibr 134	1 |- ( I e. V -> M e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   {csn 3694   {cpr 3695   <.cop 3697   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ndxcnx 13293   Basecbs 13296   +g cplusg 13374  Smgrpcsgrp 13664   Mndcmnd 13677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678

This theorem is referenced by:  grp1  13861  ring1  14302