Theorem mnd1 13087

Description: The (smallest) structure representing a trivial monoid consists of one element. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 11-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnd1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
mnd1	|- ( I e. V -> M e. Mnd )

Proof of Theorem mnd1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnd1.m	. . . 4 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	sgrp1 13054	. . 3 |- ( I e. V -> M e. Smgrp )
3		df-ov 5925	. . . . . 6 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
4		opexg 4261	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
5	4	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
6		fvsng 5758	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
7	5, 6	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
8	3, 7	eqtrid 2241	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
9		oveq2 5930	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
10		id 19	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> y = I )
11	9, 10	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
12		oveq1 5929	. . . . . . . 8 |- ( y = I -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
13	12, 10	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 |- ( y = I -> ( ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) )
14	11, 13	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( y = I -> ( ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I /\ ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) ) )
15	14	ralsng 3662	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I /\ ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) ) )
16	8, 8, 15	mpbir2and 946	. . . 4 |- ( I e. V -> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) )
17		oveq1 5929	. . . . . . 7 |- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) )
18	17	eqeq1d 2205	. . . . . 6 |- ( x = I -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y ) )
19	18	ovanraleqv 5946	. . . . 5 |- ( x = I -> ( A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) ) )
20	19	rexsng 3663	. . . 4 |- ( I e. V -> ( E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) ) )
21	16, 20	mpbird 167	. . 3 |- ( I e. V -> E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) )
22		snexg 4217	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
23		opexg 4261	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
24	5, 23	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
25		snexg 4217	. . . . . . 7 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
27	1	grpbaseg 12804	. . . . . 6 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
28	22, 26, 27	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
29	1	grpplusgg 12805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
30	22, 26, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
31	30	oveqd 5939	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
32	31	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( x ( +g ` M ) y ) = y ) )
33	30	oveqd 5939	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = ( y ( +g ` M ) x ) )
34	33	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y <-> ( y ( +g ` M ) x ) = y ) )
35	32, 34	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
36	28, 35	raleqbidv 2709	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
37	28, 36	rexeqbidv 2710	. . . 4 |- ( I e. V -> ( E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
38	37	anbi2d 464	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( M e. Smgrp /\ E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) ) <-> ( M e. Smgrp /\ E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) ) )
39	2, 21, 38	mpbi2and 945	. 2 |- ( I e. V -> ( M e. Smgrp /\ E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
40		eqid 2196	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
41		eqid 2196	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
42	40, 41	ismnddef 13059	. 2 |- ( M e. Mnd <-> ( M e. Smgrp /\ E. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) = y /\ ( y ( +g ` M ) x ) = y ) ) )
43	39, 42	sylibr 134	1 |- ( I e. V -> M e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   {csn 3622   {cpr 3623   <.cop 3625   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   ndxcnx 12675   Basecbs 12678   +g cplusg 12755  Smgrpcsgrp 13044   Mndcmnd 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058

This theorem is referenced by:  grp1  13238  ring1  13615