ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grp1 Unicode version

Theorem grp1 12852
Description: The (smallest) structure representing a trivial group. According to Wikipedia ("Trivial group", 28-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Trivial_group) "In mathematics, a trivial group is a group consisting of a single element. All such groups are isomorphic, so one often speaks of the trivial group. The single element of the trivial group is the identity element". (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
grp1.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
Assertion
Ref Expression
grp1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e.  Grp )

Proof of Theorem grp1
Dummy variables  e  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grp1.m . . 3  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
21mnd1 12724 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  M  e.  Mnd )
3 df-ov 5871 . . . . 5  |-  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )
4 opexg 4224 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V )  -> 
<. I ,  I >.  e. 
_V )
54anidms 397 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  <. I ,  I >.  e.  _V )
6 fvsng 5707 . . . . . 6  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
75, 6mpancom 422 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
83, 7eqtrid 2222 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I )
91mnd1id 12725 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( 0g `  M )  =  I )
108, 9eqtr4d 2213 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( 0g `  M ) )
11 oveq2 5876 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  (
e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
1211eqeq1d 2186 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
( e { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( 0g `  M )  <->  ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( 0g
`  M ) ) )
1312rexbidv 2478 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( E. e  e.  { I }  ( e {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( 0g
`  M )  <->  E. e  e.  { I }  (
e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( 0g `  M ) ) )
1413ralsng 3631 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. i  e.  { I } E. e  e.  {
I }  ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( 0g
`  M )  <->  E. e  e.  { I }  (
e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( 0g `  M ) ) )
15 oveq1 5875 . . . . . 6  |-  ( e  =  I  ->  (
e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
1615eqeq1d 2186 . . . . 5  |-  ( e  =  I  ->  (
( e { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( 0g `  M )  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( 0g
`  M ) ) )
1716rexsng 3632 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( E. e  e.  { I }  ( e {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( 0g
`  M )  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( 0g
`  M ) ) )
1814, 17bitrd 188 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. i  e.  { I } E. e  e.  {
I }  ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( 0g
`  M )  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( 0g
`  M ) ) )
1910, 18mpbird 167 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  A. i  e.  { I } E. e  e.  { I }  ( e {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( 0g
`  M ) )
20 eqid 2177 . . . 4  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
21 eqid 2177 . . . 4  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
22 eqid 2177 . . . 4  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
2320, 21, 22isgrp 12760 . . 3  |-  ( M  e.  Grp  <->  ( M  e.  Mnd  /\  A. i  e.  ( Base `  M
) E. e  e.  ( Base `  M
) ( e ( +g  `  M ) i )  =  ( 0g `  M ) ) )
24 snexg 4181 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  { I }  e.  _V )
25 opexg 4224 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  <. <. I ,  I >. ,  I >.  e. 
_V )
265, 25mpancom 422 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  <. <. I ,  I >. ,  I >.  e. 
_V )
27 snexg 4181 . . . . . . 7  |-  ( <. <. I ,  I >. ,  I >.  e.  _V  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V )
2826, 27syl 14 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V )
291grpbaseg 12551 . . . . . 6  |-  ( ( { I }  e.  _V  /\  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V )  ->  { I }  =  ( Base `  M )
)
3024, 28, 29syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  { I }  =  ( Base `  M ) )
311grpplusgg 12552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { I }  e.  _V  /\  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V )  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M ) )
3224, 28, 31syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M ) )
3332oveqd 5885 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  (
e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( e ( +g  `  M
) i ) )
3433eqeq1d 2186 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
( e { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( 0g `  M )  <->  ( e
( +g  `  M ) i )  =  ( 0g `  M ) ) )
3530, 34rexeqbidv 2685 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( E. e  e.  { I }  ( e {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( 0g
`  M )  <->  E. e  e.  ( Base `  M
) ( e ( +g  `  M ) i )  =  ( 0g `  M ) ) )
3630, 35raleqbidv 2684 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. i  e.  { I } E. e  e.  {
I }  ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( 0g
`  M )  <->  A. i  e.  ( Base `  M
) E. e  e.  ( Base `  M
) ( e ( +g  `  M ) i )  =  ( 0g `  M ) ) )
3736anbi2d 464 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
( M  e.  Mnd  /\ 
A. i  e.  {
I } E. e  e.  { I }  (
e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( 0g `  M ) )  <->  ( M  e. 
Mnd  /\  A. i  e.  ( Base `  M
) E. e  e.  ( Base `  M
) ( e ( +g  `  M ) i )  =  ( 0g `  M ) ) ) )
3823, 37bitr4id 199 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  ( M  e.  Grp  <->  ( M  e.  Mnd  /\  A. i  e.  { I } E. e  e.  { I }  ( e {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } i )  =  ( 0g
`  M ) ) ) )
392, 19, 38mpbir2and 944 1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   {csn 3591   {cpr 3592   <.cop 3594   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   ndxcnx 12429   Basecbs 12432   +g cplusg 12505   0gc0g 12640   Mndcmnd 12696   Grpcgrp 12754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-ltxr 7974  df-inn 8896  df-2 8954  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-grp 12757
This theorem is referenced by:  grp1inv  12853  ring1  13049
  Copyright terms: Public domain W3C validator