Theorem grp1 13508

Description: The (smallest) structure representing a trivial group. According to Wikipedia ("Trivial group", 28-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Trivial_group) "In mathematics, a trivial group is a group consisting of a single element. All such groups are isomorphic, so one often speaks of the trivial group. The single element of the trivial group is the identity element". (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
grp1	|- ( I e. V -> M e. Grp )

Proof of Theorem grp1

Dummy variables e i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . 3 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	mnd1 13357	. 2 |- ( I e. V -> M e. Mnd )
3		df-ov 5959	. . . . 5 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
4		opexg 4279	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
5	4	anidms 397	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
6		fvsng 5792	. . . . . 6 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
7	5, 6	mpancom 422	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
8	3, 7	eqtrid 2251	. . . 4 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
9	1	mnd1id 13358	. . . 4 |- ( I e. V -> ( 0g ` M ) = I )
10	8, 9	eqtr4d 2242	. . 3 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) )
11		oveq2 5964	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
12	11	eqeq1d 2215	. . . . . 6 |- ( i = I -> ( ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
13	12	rexbidv 2508	. . . . 5 |- ( i = I -> ( E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
14	13	ralsng 3677	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
15		oveq1 5963	. . . . . 6 |- ( e = I -> ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
16	15	eqeq1d 2215	. . . . 5 |- ( e = I -> ( ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
17	16	rexsng 3678	. . . 4 |- ( I e. V -> ( E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
18	14, 17	bitrd 188	. . 3 |- ( I e. V -> ( A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
19	10, 18	mpbird 167	. 2 |- ( I e. V -> A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) )
20		eqid 2206	. . . 4 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
21		eqid 2206	. . . 4 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
22		eqid 2206	. . . 4 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
23	20, 21, 22	isgrp 13408	. . 3 |- ( M e. Grp <-> ( M e. Mnd /\ A. i e. ( Base ` M ) E. e e. ( Base ` M ) ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) )
24		snexg 4235	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
25		opexg 4279	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
26	5, 25	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
27		snexg 4235	. . . . . . 7 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
29	1	grpbaseg 13029	. . . . . 6 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
30	24, 28, 29	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
31	1	grpplusgg 13030	. . . . . . . . 9 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
32	24, 28, 31	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
33	32	oveqd 5973	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( e ( +g ` M ) i ) )
34	33	eqeq1d 2215	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) )
35	30, 34	rexeqbidv 2720	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> E. e e. ( Base ` M ) ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) )
36	30, 35	raleqbidv 2719	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> A. i e. ( Base ` M ) E. e e. ( Base ` M ) ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) )
37	36	anbi2d 464	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( M e. Mnd /\ A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) ) <-> ( M e. Mnd /\ A. i e. ( Base ` M ) E. e e. ( Base ` M ) ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) ) )
38	23, 37	bitr4id 199	. 2 |- ( I e. V -> ( M e. Grp <-> ( M e. Mnd /\ A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) ) ) )
39	2, 19, 38	mpbir2and 947	1 |- ( I e. V -> M e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   _Vcvv 2773   {csn 3637   {cpr 3638   <.cop 3640   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   ndxcnx 12899   Basecbs 12902   +g cplusg 12979   0gc0g 13158   Mndcmnd 13318   Grpcgrp 13402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-ltxr 8127  df-inn 9052  df-2 9110  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-plusg 12992  df-0g 13160  df-mgm 13258  df-sgrp 13304  df-mnd 13319  df-grp 13405

This theorem is referenced by:  grp1inv  13509  ring1  13891