Theorem grp1 13308

Description: The (smallest) structure representing a trivial group. According to Wikipedia ("Trivial group", 28-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Trivial_group) "In mathematics, a trivial group is a group consisting of a single element. All such groups are isomorphic, so one often speaks of the trivial group. The single element of the trivial group is the identity element". (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
grp1	|- ( I e. V -> M e. Grp )

Proof of Theorem grp1

Dummy variables e i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . 3 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	mnd1 13157	. 2 |- ( I e. V -> M e. Mnd )
3		df-ov 5928	. . . . 5 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
4		opexg 4262	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
5	4	anidms 397	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
6		fvsng 5761	. . . . . 6 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
7	5, 6	mpancom 422	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
8	3, 7	eqtrid 2241	. . . 4 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
9	1	mnd1id 13158	. . . 4 |- ( I e. V -> ( 0g ` M ) = I )
10	8, 9	eqtr4d 2232	. . 3 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) )
11		oveq2 5933	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
12	11	eqeq1d 2205	. . . . . 6 |- ( i = I -> ( ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
13	12	rexbidv 2498	. . . . 5 |- ( i = I -> ( E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
14	13	ralsng 3663	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
15		oveq1 5932	. . . . . 6 |- ( e = I -> ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
16	15	eqeq1d 2205	. . . . 5 |- ( e = I -> ( ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
17	16	rexsng 3664	. . . 4 |- ( I e. V -> ( E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
18	14, 17	bitrd 188	. . 3 |- ( I e. V -> ( A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
19	10, 18	mpbird 167	. 2 |- ( I e. V -> A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) )
20		eqid 2196	. . . 4 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
21		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
22		eqid 2196	. . . 4 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
23	20, 21, 22	isgrp 13208	. . 3 |- ( M e. Grp <-> ( M e. Mnd /\ A. i e. ( Base ` M ) E. e e. ( Base ` M ) ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) )
24		snexg 4218	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
25		opexg 4262	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
26	5, 25	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
27		snexg 4218	. . . . . . 7 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
29	1	grpbaseg 12829	. . . . . 6 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
30	24, 28, 29	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
31	1	grpplusgg 12830	. . . . . . . . 9 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
32	24, 28, 31	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
33	32	oveqd 5942	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( e ( +g ` M ) i ) )
34	33	eqeq1d 2205	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) )
35	30, 34	rexeqbidv 2710	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> E. e e. ( Base ` M ) ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) )
36	30, 35	raleqbidv 2709	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> A. i e. ( Base ` M ) E. e e. ( Base ` M ) ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) )
37	36	anbi2d 464	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( M e. Mnd /\ A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) ) <-> ( M e. Mnd /\ A. i e. ( Base ` M ) E. e e. ( Base ` M ) ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) ) )
38	23, 37	bitr4id 199	. 2 |- ( I e. V -> ( M e. Grp <-> ( M e. Mnd /\ A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) ) ) )
39	2, 19, 38	mpbir2and 946	1 |- ( I e. V -> M e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   {csn 3623   {cpr 3624   <.cop 3626   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ndxcnx 12700   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   0gc0g 12958   Mndcmnd 13118   Grpcgrp 13202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205

This theorem is referenced by:  grp1inv  13309  ring1  13691