Theorem grp1 13679

Description: The (smallest) structure representing a trivial group. According to Wikipedia ("Trivial group", 28-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Trivial_group) "In mathematics, a trivial group is a group consisting of a single element. All such groups are isomorphic, so one often speaks of the trivial group. The single element of the trivial group is the identity element". (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
grp1	|- ( I e. V -> M e. Grp )

Proof of Theorem grp1

Dummy variables e i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . 3 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	mnd1 13528	. 2 |- ( I e. V -> M e. Mnd )
3		df-ov 6016	. . . . 5 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
4		opexg 4318	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
5	4	anidms 397	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
6		fvsng 5845	. . . . . 6 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
7	5, 6	mpancom 422	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
8	3, 7	eqtrid 2274	. . . 4 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
9	1	mnd1id 13529	. . . 4 |- ( I e. V -> ( 0g ` M ) = I )
10	8, 9	eqtr4d 2265	. . 3 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) )
11		oveq2 6021	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
12	11	eqeq1d 2238	. . . . . 6 |- ( i = I -> ( ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
13	12	rexbidv 2531	. . . . 5 |- ( i = I -> ( E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
14	13	ralsng 3707	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
15		oveq1 6020	. . . . . 6 |- ( e = I -> ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
16	15	eqeq1d 2238	. . . . 5 |- ( e = I -> ( ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
17	16	rexsng 3708	. . . 4 |- ( I e. V -> ( E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
18	14, 17	bitrd 188	. . 3 |- ( I e. V -> ( A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
19	10, 18	mpbird 167	. 2 |- ( I e. V -> A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) )
20		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
21		eqid 2229	. . . 4 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
22		eqid 2229	. . . 4 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
23	20, 21, 22	isgrp 13579	. . 3 |- ( M e. Grp <-> ( M e. Mnd /\ A. i e. ( Base ` M ) E. e e. ( Base ` M ) ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) )
24		snexg 4272	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
25		opexg 4318	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
26	5, 25	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
27		snexg 4272	. . . . . . 7 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
29	1	grpbaseg 13200	. . . . . 6 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
30	24, 28, 29	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
31	1	grpplusgg 13201	. . . . . . . . 9 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
32	24, 28, 31	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
33	32	oveqd 6030	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( e ( +g ` M ) i ) )
34	33	eqeq1d 2238	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) )
35	30, 34	rexeqbidv 2745	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> E. e e. ( Base ` M ) ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) )
36	30, 35	raleqbidv 2744	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> A. i e. ( Base ` M ) E. e e. ( Base ` M ) ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) )
37	36	anbi2d 464	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( M e. Mnd /\ A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) ) <-> ( M e. Mnd /\ A. i e. ( Base ` M ) E. e e. ( Base ` M ) ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) ) )
38	23, 37	bitr4id 199	. 2 |- ( I e. V -> ( M e. Grp <-> ( M e. Mnd /\ A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) ) ) )
39	2, 19, 38	mpbir2and 950	1 |- ( I e. V -> M e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2800   {csn 3667   {cpr 3668   <.cop 3670   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   ndxcnx 13069   Basecbs 13072   +g cplusg 13150   0gc0g 13329   Mndcmnd 13489   Grpcgrp 13573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-plusg 13163  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576

This theorem is referenced by:  grp1inv  13680  ring1  14062