Theorem grp1 13769

Description: The (smallest) structure representing a trivial group. According to Wikipedia ("Trivial group", 28-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Trivial_group) "In mathematics, a trivial group is a group consisting of a single element. All such groups are isomorphic, so one often speaks of the trivial group. The single element of the trivial group is the identity element". (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
grp1	|- ( I e. V -> M e. Grp )

Proof of Theorem grp1

Dummy variables e i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . 3 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	mnd1 13618	. 2 |- ( I e. V -> M e. Mnd )
3		df-ov 6031	. . . . 5 |- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. )
4		opexg 4326	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
5	4	anidms 397	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
6		fvsng 5858	. . . . . 6 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
7	5, 6	mpancom 422	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I )
8	3, 7	eqtrid 2276	. . . 4 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I )
9	1	mnd1id 13619	. . . 4 |- ( I e. V -> ( 0g ` M ) = I )
10	8, 9	eqtr4d 2267	. . 3 |- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) )
11		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( i = I -> ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
12	11	eqeq1d 2240	. . . . . 6 |- ( i = I -> ( ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
13	12	rexbidv 2534	. . . . 5 |- ( i = I -> ( E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
14	13	ralsng 3713	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
15		oveq1 6035	. . . . . 6 |- ( e = I -> ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) )
16	15	eqeq1d 2240	. . . . 5 |- ( e = I -> ( ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
17	16	rexsng 3714	. . . 4 |- ( I e. V -> ( E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
18	14, 17	bitrd 188	. . 3 |- ( I e. V -> ( A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( 0g ` M ) ) )
19	10, 18	mpbird 167	. 2 |- ( I e. V -> A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) )
20		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
21		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
22		eqid 2231	. . . 4 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
23	20, 21, 22	isgrp 13669	. . 3 |- ( M e. Grp <-> ( M e. Mnd /\ A. i e. ( Base ` M ) E. e e. ( Base ` M ) ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) )
24		snexg 4280	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
25		opexg 4326	. . . . . . . 8 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
26	5, 25	mpancom 422	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
27		snexg 4280	. . . . . . 7 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
29	1	grpbaseg 13290	. . . . . 6 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
30	24, 28, 29	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
31	1	grpplusgg 13291	. . . . . . . . 9 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
32	24, 28, 31	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) )
33	32	oveqd 6045	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( e ( +g ` M ) i ) )
34	33	eqeq1d 2240	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) )
35	30, 34	rexeqbidv 2748	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> E. e e. ( Base ` M ) ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) )
36	30, 35	raleqbidv 2747	. . . 4 |- ( I e. V -> ( A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) <-> A. i e. ( Base ` M ) E. e e. ( Base ` M ) ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) )
37	36	anbi2d 464	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( M e. Mnd /\ A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) ) <-> ( M e. Mnd /\ A. i e. ( Base ` M ) E. e e. ( Base ` M ) ( e ( +g ` M ) i ) = ( 0g ` M ) ) ) )
38	23, 37	bitr4id 199	. 2 |- ( I e. V -> ( M e. Grp <-> ( M e. Mnd /\ A. i e. { I } E. e e. { I } ( e { <. <. I , I >. , I >. } i ) = ( 0g ` M ) ) ) )
39	2, 19, 38	mpbir2and 953	1 |- ( I e. V -> M e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   {csn 3673   {cpr 3674   <.cop 3676   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ndxcnx 13159   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   0gc0g 13419   Mndcmnd 13579   Grpcgrp 13663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666

This theorem is referenced by:  grp1inv  13770  ring1  14153