Theorem ralsng 3659

Description: Substitution expressed in terms of quantification over a singleton. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralsng.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ralsng	|- ( A e. V -> ( A. x e. { A } ph <-> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   V( x)

Proof of Theorem ralsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralsns 3657	. 2 |- ( A e. V -> ( A. x e. { A } ph <-> [. A / x ]. ph ) )
2		ralsng.1	. . 3 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
3	2	sbcieg 3019	. 2 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ph <-> ps ) )
4	1, 3	bitrd 188	1 |- ( A e. V -> ( A. x e. { A } ph <-> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   [.wsbc 2986   {csn 3619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-v 2762  df-sbc 2987  df-sn 3625

This theorem is referenced by:  ralsn  3662  ralprg  3670  raltpg  3672  ralunsn  3824  iinxsng  3987  posng  4732  fimax2gtrilemstep  6958  iseqf1olemqk  10581  seq3f1olemstep  10588  fimaxre2  11373  mgm1  12956  sgrp1  12997  mnd1  13030  grp1  13181  0subg  13272  ring1  13558  2sqlem10  15282  nninfsellemdc  15570