Theorem ralsng 3749

Description: Substitution expressed in terms of quantification over a singleton. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralsng.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ralsng	|- ( A e. V -> ( A. x e. { A } ph <-> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   V( x)

Proof of Theorem ralsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralsns 3747	. 2 |- ( A e. V -> ( A. x e. { A } ph <-> [. A / x ]. ph ) )
2		ralsng.1	. . 3 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
3	2	sbcieg 3084	. 2 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ph <-> ps ) )
4	1, 3	bitrd 188	1 |- ( A e. V -> ( A. x e. { A } ph <-> ps ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   [.wsbc 3051   {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823  df-sbc 3052  df-sn 3715

This theorem is used by:  ralsn  3752  ralprg  3760  raltpg  3762  ralunsn  3923  iinxsng  4086  posng  4847  fimax2gtrilemstep  7205  iseqf1olemqk  10944  seq3f1olemstep  10951  fimaxre2  11993  mgm1  13690  sgrp1  13726  mnd1  13762  grp1  13911  0subg  14002  ring1  14364  2sqlem10  16244  usgr1e  16482  1hevtxdg0fi  16548  nninfsellemdc  17053