Theorem imasng 4969

Description: The image of a singleton. (Contributed by NM, 8-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
imasng	|- ( A e. B -> ( R " { A } ) = { y | A R y } )

Distinct variable groups:   y, A   y, R

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem imasng

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2737	. 2 |- ( A e. B -> A e. _V )
2		dfima2 4948	. . 3 |- ( R " { A } ) = { y | E. x e. { A } x R y }
3		breq1 3985	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x R y <-> A R y ) )
4	3	rexsng 3617	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( E. x e. { A } x R y <-> A R y ) )
5	4	abbidv 2284	. . 3 |- ( A e. _V -> { y | E. x e. { A } x R y } = { y | A R y } )
6	2, 5	syl5eq 2211	. 2 |- ( A e. _V -> ( R " { A } ) = { y | A R y } )
7	1, 6	syl 14	1 |- ( A e. B -> ( R " { A } ) = { y | A R y } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   {csn 3576   class class class wbr 3982   "cima 4607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617

This theorem is referenced by:  elreimasng  4970  elimasn  4971  args  4973  fnsnfv  5545  funfvdm2  5550  dfec2  6504  mapsn  6656  shftfibg  10762  shftfib  10765