Theorem imasng 5031

Description: The image of a singleton. (Contributed by NM, 8-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
imasng	|- ( A e. B -> ( R " { A } ) = { y | A R y } )

Distinct variable groups:   y, A   y, R

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem imasng

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2771	. 2 |- ( A e. B -> A e. _V )
2		dfima2 5008	. . 3 |- ( R " { A } ) = { y | E. x e. { A } x R y }
3		breq1 4033	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x R y <-> A R y ) )
4	3	rexsng 3660	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( E. x e. { A } x R y <-> A R y ) )
5	4	abbidv 2311	. . 3 |- ( A e. _V -> { y | E. x e. { A } x R y } = { y | A R y } )
6	2, 5	eqtrid 2238	. 2 |- ( A e. _V -> ( R " { A } ) = { y | A R y } )
7	1, 6	syl 14	1 |- ( A e. B -> ( R " { A } ) = { y | A R y } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   {csn 3619   class class class wbr 4030   "cima 4663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673

This theorem is referenced by:  elrelimasn  5032  elimasn  5033  args  5035  fnsnfv  5617  funfvdm2  5622  dfec2  6592  mapsn  6746  shftfibg  10967  shftfib  10970