Theorem imasng 4986

Description: The image of a singleton. (Contributed by NM, 8-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
imasng	|- ( A e. B -> ( R " { A } ) = { y | A R y } )

Distinct variable groups:   y, A   y, R

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem imasng

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2746	. 2 |- ( A e. B -> A e. _V )
2		dfima2 4965	. . 3 |- ( R " { A } ) = { y | E. x e. { A } x R y }
3		breq1 4001	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x R y <-> A R y ) )
4	3	rexsng 3630	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( E. x e. { A } x R y <-> A R y ) )
5	4	abbidv 2293	. . 3 |- ( A e. _V -> { y | E. x e. { A } x R y } = { y | A R y } )
6	2, 5	eqtrid 2220	. 2 |- ( A e. _V -> ( R " { A } ) = { y | A R y } )
7	1, 6	syl 14	1 |- ( A e. B -> ( R " { A } ) = { y | A R y } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2146   {cab 2161   E.wrex 2454   _Vcvv 2735   {csn 3589   class class class wbr 3998   "cima 4623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-sbc 2961  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-br 3999  df-opab 4060  df-xp 4626  df-cnv 4628  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633

This theorem is referenced by:  elreimasng  4987  elimasn  4988  args  4990  fnsnfv  5567  funfvdm2  5572  dfec2  6528  mapsn  6680  shftfibg  10797  shftfib  10800