Theorem imasng 4840

Description: The image of a singleton. (Contributed by NM, 8-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
imasng	|- ( A e. B -> ( R " { A } ) = { y | A R y } )

Distinct variable groups:   y, A   y, R

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem imasng

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2652	. 2 |- ( A e. B -> A e. _V )
2		dfima2 4819	. . 3 |- ( R " { A } ) = { y | E. x e. { A } x R y }
3		breq1 3878	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x R y <-> A R y ) )
4	3	rexsng 3512	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( E. x e. { A } x R y <-> A R y ) )
5	4	abbidv 2217	. . 3 |- ( A e. _V -> { y | E. x e. { A } x R y } = { y | A R y } )
6	2, 5	syl5eq 2144	. 2 |- ( A e. _V -> ( R " { A } ) = { y | A R y } )
7	1, 6	syl 14	1 |- ( A e. B -> ( R " { A } ) = { y | A R y } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1299   e. wcel 1448   {cab 2086   E.wrex 2376   _Vcvv 2641   {csn 3474   class class class wbr 3875   "cima 4480

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-br 3876  df-opab 3930  df-xp 4483  df-cnv 4485  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490

This theorem is referenced by:  elreimasng  4841  elimasn  4842  args  4844  fnsnfv  5412  funfvdm2  5417  dfec2  6362  mapsn  6514  shftfibg  10433  shftfib  10436