Theorem imasng 5127

Description: The image of a singleton. (Contributed by NM, 8-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
imasng	|- ( A e. B -> ( R " { A } ) = { y | A R y } )

Distinct variable groups:   y, A   y, R

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem imasng

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2825	. 2 |- ( A e. B -> A e. _V )
2		dfima2 5103	. . 3 |- ( R " { A } ) = { y | E. x e. { A } x R y }
3		breq1 4112	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x R y <-> A R y ) )
4	3	rexsng 3730	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( E. x e. { A } x R y <-> A R y ) )
5	4	abbidv 2352	. . 3 |- ( A e. _V -> { y | E. x e. { A } x R y } = { y | A R y } )
6	2, 5	eqtrid 2277	. 2 |- ( A e. _V -> ( R " { A } ) = { y | A R y } )
7	1, 6	syl 14	1 |- ( A e. B -> ( R " { A } ) = { y | A R y } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   {csn 3689   class class class wbr 4109   "cima 4752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762

This theorem is referenced by:  elrelimasn  5128  elimasn  5129  args  5131  fnsnfv  5736  funfvdm2  5741  dfec2  6770  mapsnd  6923  mapsn  6925  shftfibg  11505  shftfib  11508