Theorem sbal1yz 2020

Description: Lemma for proving sbal1 2021. Same as sbal1 2021 but with an additional disjoint variable condition on y , z. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sbal1yz	|- ( -. A. x x = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbal1yz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dveeq2or 1830	. . . . . 6 |- ( A. x x = z \/ F/ x y = z )
2		equcom 1720	. . . . . . . . 9 |- ( y = z <-> z = y )
3	2	nfbii 1487	. . . . . . . 8 |- ( F/ x y = z <-> F/ x z = y )
4		19.21t 1596	. . . . . . . 8 |- ( F/ x z = y -> ( A. x ( z = y -> ph ) <-> ( z = y -> A. x ph ) ) )
5	3, 4	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( F/ x y = z -> ( A. x ( z = y -> ph ) <-> ( z = y -> A. x ph ) ) )
6	5	orim2i 762	. . . . . 6 |- ( ( A. x x = z \/ F/ x y = z ) -> ( A. x x = z \/ ( A. x ( z = y -> ph ) <-> ( z = y -> A. x ph ) ) ) )
7	1, 6	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( A. x x = z \/ ( A. x ( z = y -> ph ) <-> ( z = y -> A. x ph ) ) )
8	7	ori 724	. . . 4 |- ( -. A. x x = z -> ( A. x ( z = y -> ph ) <-> ( z = y -> A. x ph ) ) )
9	8	albidv 1838	. . 3 |- ( -. A. x x = z -> ( A. y A. x ( z = y -> ph ) <-> A. y ( z = y -> A. x ph ) ) )
10		alcom 1492	. . . 4 |- ( A. y A. x ( z = y -> ph ) <-> A. x A. y ( z = y -> ph ) )
11		sb6 1901	. . . . . 6 |- ( [ z / y ] ph <-> A. y ( y = z -> ph ) )
12	2	imbi1i 238	. . . . . . 7 |- ( ( y = z -> ph ) <-> ( z = y -> ph ) )
13	12	albii 1484	. . . . . 6 |- ( A. y ( y = z -> ph ) <-> A. y ( z = y -> ph ) )
14	11, 13	bitri 184	. . . . 5 |- ( [ z / y ] ph <-> A. y ( z = y -> ph ) )
15	14	albii 1484	. . . 4 |- ( A. x [ z / y ] ph <-> A. x A. y ( z = y -> ph ) )
16	10, 15	bitr4i 187	. . 3 |- ( A. y A. x ( z = y -> ph ) <-> A. x [ z / y ] ph )
17		sb6 1901	. . . 4 |- ( [ z / y ] A. x ph <-> A. y ( y = z -> A. x ph ) )
18	2	imbi1i 238	. . . . 5 |- ( ( y = z -> A. x ph ) <-> ( z = y -> A. x ph ) )
19	18	albii 1484	. . . 4 |- ( A. y ( y = z -> A. x ph ) <-> A. y ( z = y -> A. x ph ) )
20	17, 19	bitr2i 185	. . 3 |- ( A. y ( z = y -> A. x ph ) <-> [ z / y ] A. x ph )
21	9, 16, 20	3bitr3g 222	. 2 |- ( -. A. x x = z -> ( A. x [ z / y ] ph <-> [ z / y ] A. x ph ) )
22	21	bicomd 141	1 |- ( -. A. x x = z -> ( [ z / y ] A. x ph <-> A. x [ z / y ] ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709   A.wal 1362   F/wnf 1474   [wsb 1776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777

This theorem is referenced by:  sbal1  2021