Theorem imasaddvallemg 13545

Description: The operation of an image structure is defined to distribute over the mapping function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasaddf.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasaddf.e	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
imasaddflem.a	|- ( ph -> .xb = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
imasaddfnlemg.v	|- ( ph -> V e. W )
imasaddfnlemg.x	|- ( ph -> .x. e. C )

Assertion

Ref	Expression
imasaddvallemg	|- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( F ` X ) .xb ( F ` Y ) ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) )

Distinct variable groups:   q, p, B   a, b, p, q, V   .x. , p, q   X, p   F, a, b, p, q   ph, a, b, p, q   .xb , a, b, p, q   Y, p, q

Allowed substitution hints:   B( a, b)   C( q, p, a, b)   .x. ( a, b)   W( q, p, a, b)   X( q, a, b)   Y( a, b)

Proof of Theorem imasaddvallemg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6055	. 2 |- ( ( F ` X ) .xb ( F ` Y ) ) = ( .xb ` <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. )
2		imasaddf.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
3		imasaddf.e	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
4		imasaddflem.a	. . . . . 6 |- ( ph -> .xb = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
5		imasaddfnlemg.v	. . . . . 6 |- ( ph -> V e. W )
6		imasaddfnlemg.x	. . . . . 6 |- ( ph -> .x. e. C )
7	2, 3, 4, 5, 6	imasaddfnlemg 13544	. . . . 5 |- ( ph -> .xb Fn ( B X. B ) )
8		fnfun 5455	. . . . 5 |- ( .xb Fn ( B X. B ) -> Fun .xb )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> Fun .xb )
10	9	3ad2ant1 1045	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> Fun .xb )
11		fveq2 5672	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = X -> ( F ` p ) = ( F ` X ) )
12	11	opeq1d 3891	. . . . . . . . . 10 |- ( p = X -> <. ( F ` p ) , ( F ` Y ) >. = <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. )
13		fvoveq1 6075	. . . . . . . . . 10 |- ( p = X -> ( F ` ( p .x. Y ) ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) )
14	12, 13	opeq12d 3893	. . . . . . . . 9 |- ( p = X -> <. <. ( F ` p ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( p .x. Y ) ) >. = <. <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( X .x. Y ) ) >. )
15	14	sneqd 3704	. . . . . . . 8 |- ( p = X -> { <. <. ( F ` p ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( p .x. Y ) ) >. } = { <. <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( X .x. Y ) ) >. } )
16	15	ssiun2s 4037	. . . . . . 7 |- ( X e. V -> { <. <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( X .x. Y ) ) >. } C_ U_ p e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( p .x. Y ) ) >. } )
17	16	3ad2ant2 1046	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> { <. <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( X .x. Y ) ) >. } C_ U_ p e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( p .x. Y ) ) >. } )
18		fveq2 5672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = Y -> ( F ` q ) = ( F ` Y ) )
19	18	opeq2d 3892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q = Y -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. = <. ( F ` p ) , ( F ` Y ) >. )
20		oveq2 6060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = Y -> ( p .x. q ) = ( p .x. Y ) )
21	20	fveq2d 5676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q = Y -> ( F ` ( p .x. q ) ) = ( F ` ( p .x. Y ) ) )
22	19, 21	opeq12d 3893	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = Y -> <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. = <. <. ( F ` p ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( p .x. Y ) ) >. )
23	22	sneqd 3704	. . . . . . . . . 10 |- ( q = Y -> { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } = { <. <. ( F ` p ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( p .x. Y ) ) >. } )
24	23	ssiun2s 4037	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. V -> { <. <. ( F ` p ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( p .x. Y ) ) >. } C_ U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
25	24	ralrimivw 2618	. . . . . . . 8 |- ( Y e. V -> A. p e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( p .x. Y ) ) >. } C_ U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
26		ss2iun 4008	. . . . . . . 8 |- ( A. p e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( p .x. Y ) ) >. } C_ U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } -> U_ p e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( p .x. Y ) ) >. } C_ U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . 7 |- ( Y e. V -> U_ p e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( p .x. Y ) ) >. } C_ U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
28	27	3ad2ant3 1047	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> U_ p e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( p .x. Y ) ) >. } C_ U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
29	17, 28	sstrd 3250	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> { <. <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( X .x. Y ) ) >. } C_ U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
30	4	3ad2ant1 1045	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> .xb = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
31	29, 30	sseqtrrd 3279	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> { <. <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( X .x. Y ) ) >. } C_ .xb )
32		fof 5592	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : V -onto-> B -> F : V --> B )
33	2, 32	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : V --> B )
34	33	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> F : V --> B )
35	5	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> V e. W )
36	34, 35	fexd 5918	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> F e. _V )
37		simp2 1025	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> X e. V )
38		fvexg 5691	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. _V /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. _V )
39	36, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( F ` X ) e. _V )
40		simp3 1026	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> Y e. V )
41		fvexg 5691	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. _V /\ Y e. V ) -> ( F ` Y ) e. _V )
42	36, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( F ` Y ) e. _V )
43		opexg 4346	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` X ) e. _V /\ ( F ` Y ) e. _V ) -> <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. e. _V )
44	39, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. e. _V )
45	6	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> .x. e. C )
46		ovexg 6086	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ .x. e. C /\ Y e. V ) -> ( X .x. Y ) e. _V )
47	37, 45, 40, 46	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X .x. Y ) e. _V )
48		fvexg 5691	. . . . . . 7 |- ( ( F e. _V /\ ( X .x. Y ) e. _V ) -> ( F ` ( X .x. Y ) ) e. _V )
49	36, 47, 48	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( F ` ( X .x. Y ) ) e. _V )
50		opexg 4346	. . . . . 6 |- ( ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. e. _V /\ ( F ` ( X .x. Y ) ) e. _V ) -> <. <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( X .x. Y ) ) >. e. _V )
51	44, 49, 50	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> <. <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( X .x. Y ) ) >. e. _V )
52		snssg 3830	. . . . 5 |- ( <. <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( X .x. Y ) ) >. e. _V -> ( <. <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( X .x. Y ) ) >. e. .xb <-> { <. <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( X .x. Y ) ) >. } C_ .xb ) )
53	51, 52	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( <. <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( X .x. Y ) ) >. e. .xb <-> { <. <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( X .x. Y ) ) >. } C_ .xb ) )
54	31, 53	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> <. <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( X .x. Y ) ) >. e. .xb )
55		funopfv 5716	. . 3 |- ( Fun .xb -> ( <. <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. , ( F ` ( X .x. Y ) ) >. e. .xb -> ( .xb ` <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) ) )
56	10, 54, 55	sylc 62	. 2 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( .xb ` <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) )
57	1, 56	eqtrid 2279	1 |- ( ( ph /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( ( F ` X ) .xb ( F ` Y ) ) = ( F ` ( X .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   C_ wss 3213   {csn 3691   <.cop 3694   U_ciun 3993   X. cxp 4749   Fun wfun 5348   Fn wfn 5349   -->wf 5350   -onto->wfo 5352   ` cfv 5354  (class class class)co 6052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055

This theorem is referenced by:  imasaddval  13548  imasmulval  13551  qusaddvallemg  13563