Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvfvalap Unicode version

Theorem dvfvalap 13021
 Description: Value and set bounds on the derivative operator. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvval.t t
dvval.k
Assertion
Ref Expression
dvfvalap # lim
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem dvfvalap
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dvap 12997 . . . 4 t # lim
21a1i 9 . . 3 t # lim
3 dvval.k . . . . . . . 8
43oveq1i 5831 . . . . . . 7 t t
5 simprl 521 . . . . . . . . 9
65oveq2d 5837 . . . . . . . 8 t t
7 dvval.t . . . . . . . 8 t
86, 7eqtr4di 2208 . . . . . . 7 t
94, 8eqtr3id 2204 . . . . . 6 t
109fveq2d 5471 . . . . 5 t
11 simprr 522 . . . . . . 7
1211dmeqd 4787 . . . . . 6
13 simpl2 986 . . . . . . 7
1413fdmd 5325 . . . . . 6
1512, 14eqtrd 2190 . . . . 5
1610, 15fveq12d 5474 . . . 4 t
1715rabeqdv 2706 . . . . . . 7 # #
1811fveq1d 5469 . . . . . . . . 9
1911fveq1d 5469 . . . . . . . . 9
2018, 19oveq12d 5839 . . . . . . . 8
2120oveq1d 5836 . . . . . . 7
2217, 21mpteq12dv 4046 . . . . . 6 # #
2322oveq1d 5836 . . . . 5 # lim # lim
2423xpeq2d 4609 . . . 4 # lim # lim
2516, 24iuneq12d 3873 . . 3 t # lim # lim
26 simpr 109 . . . 4
2726oveq2d 5837 . . 3
28 simp1 982 . . . 4
29 cnex 7850 . . . . 5
3029elpw2 4118 . . . 4
3128, 30sylibr 133 . . 3
3229a1i 9 . . . 4
33 simp2 983 . . . 4
34 simp3 984 . . . 4
35 elpm2r 6608 . . . 4
3632, 31, 33, 34, 35syl22anc 1221 . . 3
373cntoptopon 12903 . . . . . . . . 9 TopOn
38 resttopon 12542 . . . . . . . . 9 TopOn t TopOn
3937, 28, 38sylancr 411 . . . . . . . 8 t TopOn
407, 39eqeltrid 2244 . . . . . . 7 TopOn
41 topontop 12383 . . . . . . 7 TopOn
4240, 41syl 14 . . . . . 6
43 toponuni 12384 . . . . . . . 8 TopOn
4440, 43syl 14 . . . . . . 7
4534, 44sseqtrd 3166 . . . . . 6
46 eqid 2157 . . . . . . 7
4746ntropn 12488 . . . . . 6
4842, 45, 47syl2anc 409 . . . . 5
49 xpexg 4699 . . . . 5
5048, 32, 49syl2anc 409 . . . 4
51 limccl 12999 . . . . . . . . 9 # lim
52 xpss2 4696 . . . . . . . . 9 # lim # lim
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8 # lim
5453rgenw 2512 . . . . . . 7 # lim
55 ss2iun 3864 . . . . . . 7 # lim # lim
5654, 55ax-mp 5 . . . . . 6 # lim
57 iunxpconst 4645 . . . . . 6
5856, 57sseqtri 3162 . . . . 5 # lim
5958a1i 9 . . . 4 # lim
6050, 59ssexd 4104 . . 3 # lim
612, 25, 27, 31, 36, 60ovmpodx 5944 . 2 # lim
6261, 59eqsstrd 3164 . 2
6361, 62jca 304 1 # lim
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 963   wceq 1335   wcel 2128  wral 2435  crab 2439  cvv 2712   wss 3102  cpw 3543  csn 3560  cuni 3772  ciun 3849   class class class wbr 3965   cmpt 4025   cxp 4583   cdm 4585   ccom 4589  wf 5165  cfv 5169  (class class class)co 5821   cmpo 5823   cpm 6591  cc 7724   cmin 8040   # cap 8450   cdiv 8539  cabs 10890   ↾t crest 12322  cmopn 12356  ctop 12366  TopOnctopon 12379  cnt 12464   lim climc 12994   cdv 12995 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-map 6592  df-pm 6593  df-sup 6924  df-inf 6925  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-xneg 9672  df-xadd 9673  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-rest 12324  df-topgen 12343  df-psmet 12358  df-xmet 12359  df-met 12360  df-bl 12361  df-mopn 12362  df-top 12367  df-topon 12380  df-bases 12412  df-ntr 12467  df-limced 12996  df-dvap 12997 This theorem is referenced by:  eldvap  13022  dvbssntrcntop  13024
 Copyright terms: Public domain W3C validator