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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dvfvalap | Unicode version |
Description: Value and set bounds on the derivative operator. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.) |
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dvval.t |
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dvval.k |
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dvfvalap |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | df-dvap 14211 |
. . . 4
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2 | 1 | a1i 9 |
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3 | dvval.k |
. . . . . . . 8
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4 | 3 | oveq1i 5887 |
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5 | simprl 529 |
. . . . . . . . 9
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6 | 5 | oveq2d 5893 |
. . . . . . . 8
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7 | dvval.t |
. . . . . . . 8
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8 | 6, 7 | eqtr4di 2228 |
. . . . . . 7
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9 | 4, 8 | eqtr3id 2224 |
. . . . . 6
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10 | 9 | fveq2d 5521 |
. . . . 5
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11 | simprr 531 |
. . . . . . 7
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12 | 11 | dmeqd 4831 |
. . . . . 6
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13 | simpl2 1001 |
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14 | 13 | fdmd 5374 |
. . . . . 6
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15 | 12, 14 | eqtrd 2210 |
. . . . 5
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16 | 10, 15 | fveq12d 5524 |
. . . 4
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17 | 15 | rabeqdv 2733 |
. . . . . . 7
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18 | 11 | fveq1d 5519 |
. . . . . . . . 9
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19 | 11 | fveq1d 5519 |
. . . . . . . . 9
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20 | 18, 19 | oveq12d 5895 |
. . . . . . . 8
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21 | 20 | oveq1d 5892 |
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22 | 17, 21 | mpteq12dv 4087 |
. . . . . 6
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23 | 22 | oveq1d 5892 |
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24 | 23 | xpeq2d 4652 |
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25 | 16, 24 | iuneq12d 3912 |
. . 3
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26 | simpr 110 |
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27 | 26 | oveq2d 5893 |
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28 | simp1 997 |
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29 | cnex 7937 |
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30 | 29 | elpw2 4159 |
. . . 4
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31 | 28, 30 | sylibr 134 |
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32 | 29 | a1i 9 |
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33 | simp2 998 |
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34 | simp3 999 |
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35 | elpm2r 6668 |
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36 | 32, 31, 33, 34, 35 | syl22anc 1239 |
. . 3
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37 | 3 | cntoptopon 14117 |
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38 | resttopon 13756 |
. . . . . . . . 9
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39 | 37, 28, 38 | sylancr 414 |
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40 | 7, 39 | eqeltrid 2264 |
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41 | topontop 13599 |
. . . . . . 7
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42 | 40, 41 | syl 14 |
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43 | toponuni 13600 |
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44 | 40, 43 | syl 14 |
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45 | 34, 44 | sseqtrd 3195 |
. . . . . 6
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46 | eqid 2177 |
. . . . . . 7
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47 | 46 | ntropn 13702 |
. . . . . 6
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48 | 42, 45, 47 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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49 | xpexg 4742 |
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50 | 48, 32, 49 | syl2anc 411 |
. . . 4
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51 | limccl 14213 |
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57 | iunxpconst 4688 |
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58 | 56, 57 | sseqtri 3191 |
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60 | 50, 59 | ssexd 4145 |
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61 | 2, 25, 27, 31, 36, 60 | ovmpodx 6003 |
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62 | 61, 59 | eqsstrd 3193 |
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63 | 61, 62 | jca 306 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 ax-arch 7932 ax-caucvg 7933 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-isom 5227 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-frec 6394 df-map 6652 df-pm 6653 df-sup 6985 df-inf 6986 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-4 8982 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-q 9622 df-rp 9656 df-xneg 9774 df-xadd 9775 df-seqfrec 10448 df-exp 10522 df-cj 10853 df-re 10854 df-im 10855 df-rsqrt 11009 df-abs 11010 df-rest 12695 df-topgen 12714 df-psmet 13532 df-xmet 13533 df-met 13534 df-bl 13535 df-mopn 13536 df-top 13583 df-topon 13596 df-bases 13628 df-ntr 13681 df-limced 14210 df-dvap 14211 |
This theorem is referenced by: eldvap 14236 dvbssntrcntop 14238 |
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