ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssel Unicode version

Theorem ssel 3091
Description: Membership relationships follow from a subclass relationship. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
ssel  |-  ( A 
C_  B  ->  ( C  e.  A  ->  C  e.  B ) )

Proof of Theorem ssel
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss2 3086 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  <->  A. x
( x  e.  A  ->  x  e.  B ) )
21biimpi 119 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  A. x
( x  e.  A  ->  x  e.  B ) )
3219.21bi 1537 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  B )
)
43anim2d 335 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  =  C  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  =  C  /\  x  e.  B ) ) )
54eximdv 1852 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ( E. x ( x  =  C  /\  x  e.  A )  ->  E. x
( x  =  C  /\  x  e.  B
) ) )
6 df-clel 2135 . 2  |-  ( C  e.  A  <->  E. x
( x  =  C  /\  x  e.  A
) )
7 df-clel 2135 . 2  |-  ( C  e.  B  <->  E. x
( x  =  C  /\  x  e.  B
) )
85, 6, 73imtr4g 204 1  |-  ( A 
C_  B  ->  ( C  e.  A  ->  C  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1329    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480    C_ wss 3071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-in 3077  df-ss 3084
This theorem is referenced by:  ssel2  3092  sseli  3093  sseld  3096  sstr2  3104  nelss  3158  ssrexf  3159  ssralv  3161  ssrexv  3162  ralss  3163  rexss  3164  ssconb  3209  sscon  3210  ssdif  3211  unss1  3245  ssrin  3301  difin2  3338  reuss2  3356  reupick  3360  sssnm  3681  uniss  3757  ss2iun  3828  ssiun  3855  iinss  3864  disjss2  3909  disjss1  3912  pwnss  4083  sspwb  4138  ssopab2b  4198  soss  4236  sucssel  4346  ssorduni  4403  onintonm  4433  onnmin  4483  ssnel  4484  wessep  4492  ssrel  4627  ssrel2  4629  ssrelrel  4639  xpss12  4646  cnvss  4712  dmss  4738  elreldm  4765  dmcosseq  4810  relssres  4857  iss  4865  resopab2  4866  issref  4921  ssrnres  4981  dfco2a  5039  cores  5042  funssres  5165  fununi  5191  funimaexglem  5206  dfimafn  5470  funimass4  5472  funimass3  5536  dff4im  5566  funfvima2  5650  funfvima3  5651  f1elima  5674  riotass2  5756  ssoprab2b  5828  resoprab2  5868  releldm2  6083  reldmtpos  6150  dmtpos  6153  rdgss  6280  ss2ixp  6605  fiintim  6817  negf1o  8156  lbreu  8715  lbinf  8718  eqreznegel  9418  negm  9419  iccsupr  9761  negfi  11011  sumrbdclem  11158  prodrbdclem  11352  metrest  12689  bdop  13132  bj-nnen2lp  13211  exmidsbthrlem  13278
  Copyright terms: Public domain W3C validator