Theorem supeq1d 7317

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 |- ( ph -> B = C )
2		supeq1 7316	. 2 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   supcsup 7312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-uni 3931  df-sup 7314

This theorem is referenced by:  sup3exmid  9277  supminfex  9976  suprzubdc  10649  minmax  11974  xrminmax  12009  xrminrecl  12017  xrminadd  12019  gcdval  12714  gcdass  12770  pceulem  13051  pceu  13052  pcval  13053  pczpre  13054  pcdiv  13059  pcneg  13082  prdsex  14149  prdsval  14150  xmetxp  15531  xmetxpbl  15532  txmetcnp  15542  qtopbasss  15545  hovera  15671  hoverb  15672  hoverlt1  15673  hovergt0  15674  ivthdich  15677  repiecele0  16980  repiecege0  16981  repiecef  16982