Theorem supeq1d 7328

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 |- ( ph -> B = C )
2		supeq1 7327	. 2 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   supcsup 7323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-uni 3936  df-sup 7325

This theorem is used by:  sup3exmid  9290  supminfex  10007  suprzubdc  10682  minmax  12014  xrminmax  12050  xrminrecl  12058  xrminadd  12060  gcdval  12755  gcdass  12811  pceulem  13096  pceu  13097  pcval  13098  pczpre  13099  pcdiv  13104  pcneg  13127  prdsex  14256  prdsval  14257  xmetxp  15699  xmetxpbl  15700  txmetcnp  15710  qtopbasss  15713  hovera  15839  hoverb  15840  hoverlt1  15841  hovergt0  15842  ivthdich  15845  repiecele0  17241  repiecege0  17242  repiecef  17243