Theorem supeq1d 7333

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 |- ( ph -> B = C )
2		supeq1 7332	. 2 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   supcsup 7328

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-uni 3936  df-sup 7330

This theorem is used by:  sup3exmid  9295  supminfex  10012  suprzubdc  10687  minmax  12019  xrminmax  12055  xrminrecl  12063  xrminadd  12065  gcdval  12760  gcdass  12816  pceulem  13101  pceu  13102  pcval  13103  pczpre  13104  pcdiv  13109  pcneg  13132  prdsex  14278  prdsval  14279  psrbagmaxlem1x  15181  psrbagmaxlem1y  15182  xmetxp  15750  xmetxpbl  15751  txmetcnp  15761  qtopbasss  15764  hovera  15890  hoverb  15891  hoverlt1  15892  hovergt0  15893  ivthdich  15896  repiecele0  17298  repiecege0  17299  repiecef  17300