Theorem supeq1d 7062

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 |- ( ph -> B = C )
2		supeq1 7061	. 2 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   supcsup 7057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-uni 3841  df-sup 7059

This theorem is referenced by:  sup3exmid  9001  supminfex  9688  suprzubdc  10343  minmax  11412  xrminmax  11447  xrminrecl  11455  xrminadd  11457  gcdval  12151  gcdass  12207  pceulem  12488  pceu  12489  pcval  12490  pczpre  12491  pcdiv  12496  pcneg  12519  prdsex  12971  prdsval  12975  xmetxp  14827  xmetxpbl  14828  txmetcnp  14838  qtopbasss  14841  hovera  14967  hoverb  14968  hoverlt1  14969  hovergt0  14970  ivthdich  14973