Theorem supeq1d 7333

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 |- ( ph -> B = C )
2		supeq1 7332	. 2 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   supcsup 7328

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-uni 3936  df-sup 7330

This theorem is used by:  sup3exmid  9295  supminfex  10013  suprzubdc  10688  minmax  12020  xrminmax  12056  xrminrecl  12064  xrminadd  12066  gcdval  12761  gcdass  12817  pceulem  13102  pceu  13103  pcval  13104  pczpre  13105  pcdiv  13110  pcneg  13133  prdsex  14279  prdsval  14280  xmetxp  15733  xmetxpbl  15734  txmetcnp  15744  qtopbasss  15747  hovera  15873  hoverb  15874  hoverlt1  15875  hovergt0  15876  ivthdich  15879  repiecele0  17281  repiecege0  17282  repiecef  17283