Theorem supeq1d 7229

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 |- ( ph -> B = C )
2		supeq1 7228	. 2 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   supcsup 7224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-uni 3899  df-sup 7226

This theorem is referenced by:  sup3exmid  9179  supminfex  9875  suprzubdc  10542  minmax  11853  xrminmax  11888  xrminrecl  11896  xrminadd  11898  gcdval  12593  gcdass  12649  pceulem  12930  pceu  12931  pcval  12932  pczpre  12933  pcdiv  12938  pcneg  12961  prdsex  13415  prdsval  13419  xmetxp  15301  xmetxpbl  15302  txmetcnp  15312  qtopbasss  15315  hovera  15441  hoverb  15442  hoverlt1  15443  hovergt0  15444  ivthdich  15447  repiecele0  16741  repiecege0  16742  repiecef  16743