Theorem supeq1d 7177

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 |- ( ph -> B = C )
2		supeq1 7176	. 2 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   supcsup 7172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-uni 3892  df-sup 7174

This theorem is referenced by:  sup3exmid  9127  supminfex  9821  suprzubdc  10486  minmax  11781  xrminmax  11816  xrminrecl  11824  xrminadd  11826  gcdval  12520  gcdass  12576  pceulem  12857  pceu  12858  pcval  12859  pczpre  12860  pcdiv  12865  pcneg  12888  prdsex  13342  prdsval  13346  xmetxp  15221  xmetxpbl  15222  txmetcnp  15232  qtopbasss  15235  hovera  15361  hoverb  15362  hoverlt1  15363  hovergt0  15364  ivthdich  15367