Theorem supeq1d 7291

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 |- ( ph -> B = C )
2		supeq1 7290	. 2 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   supcsup 7286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-uni 3920  df-sup 7288

This theorem is referenced by:  sup3exmid  9248  supminfex  9947  suprzubdc  10620  minmax  11940  xrminmax  11975  xrminrecl  11983  xrminadd  11985  gcdval  12680  gcdass  12736  pceulem  13017  pceu  13018  pcval  13019  pczpre  13020  pcdiv  13025  pcneg  13048  prdsex  14114  prdsval  14115  xmetxp  15498  xmetxpbl  15499  txmetcnp  15509  qtopbasss  15512  hovera  15638  hoverb  15639  hoverlt1  15640  hovergt0  15641  ivthdich  15644  repiecele0  16936  repiecege0  16937  repiecef  16938