Theorem supeq1d 7062

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 |- ( ph -> B = C )
2		supeq1 7061	. 2 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   supcsup 7057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-uni 3841  df-sup 7059

This theorem is referenced by:  sup3exmid  9003  supminfex  9690  suprzubdc  10345  minmax  11414  xrminmax  11449  xrminrecl  11457  xrminadd  11459  gcdval  12153  gcdass  12209  pceulem  12490  pceu  12491  pcval  12492  pczpre  12493  pcdiv  12498  pcneg  12521  prdsex  12973  prdsval  12977  xmetxp  14851  xmetxpbl  14852  txmetcnp  14862  qtopbasss  14865  hovera  14991  hoverb  14992  hoverlt1  14993  hovergt0  14994  ivthdich  14997