Theorem supeq1d 7165

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 |- ( ph -> B = C )
2		supeq1 7164	. 2 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   supcsup 7160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-uni 3889  df-sup 7162

This theorem is referenced by:  sup3exmid  9115  supminfex  9804  suprzubdc  10468  minmax  11756  xrminmax  11791  xrminrecl  11799  xrminadd  11801  gcdval  12495  gcdass  12551  pceulem  12832  pceu  12833  pcval  12834  pczpre  12835  pcdiv  12840  pcneg  12863  prdsex  13317  prdsval  13321  xmetxp  15196  xmetxpbl  15197  txmetcnp  15207  qtopbasss  15210  hovera  15336  hoverb  15337  hoverlt1  15338  hovergt0  15339  ivthdich  15342