Theorem supeq1d 7278

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 |- ( ph -> B = C )
2		supeq1 7277	. 2 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   supcsup 7273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-uni 3915  df-sup 7275

This theorem is referenced by:  sup3exmid  9231  supminfex  9929  suprzubdc  10596  minmax  11915  xrminmax  11950  xrminrecl  11958  xrminadd  11960  gcdval  12655  gcdass  12711  pceulem  12992  pceu  12993  pcval  12994  pczpre  12995  pcdiv  13000  pcneg  13023  prdsex  13482  prdsval  13486  xmetxp  15372  xmetxpbl  15373  txmetcnp  15383  qtopbasss  15386  hovera  15512  hoverb  15513  hoverlt1  15514  hovergt0  15515  ivthdich  15518  repiecele0  16810  repiecege0  16811  repiecef  16812