Theorem supeq1d 7186

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 |- ( ph -> B = C )
2		supeq1 7185	. 2 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   supcsup 7181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-uni 3894  df-sup 7183

This theorem is referenced by:  sup3exmid  9137  supminfex  9831  suprzubdc  10497  minmax  11808  xrminmax  11843  xrminrecl  11851  xrminadd  11853  gcdval  12548  gcdass  12604  pceulem  12885  pceu  12886  pcval  12887  pczpre  12888  pcdiv  12893  pcneg  12916  prdsex  13370  prdsval  13374  xmetxp  15250  xmetxpbl  15251  txmetcnp  15261  qtopbasss  15264  hovera  15390  hoverb  15391  hoverlt1  15392  hovergt0  15393  ivthdich  15396