Theorem supeq1d 7327

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 |- ( ph -> B = C )
2		supeq1 7326	. 2 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   supcsup 7322

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-uni 3936  df-sup 7324

This theorem is used by:  sup3exmid  9287  supminfex  9997  suprzubdc  10671  minmax  11996  xrminmax  12031  xrminrecl  12039  xrminadd  12041  gcdval  12736  gcdass  12792  pceulem  13073  pceu  13074  pcval  13075  pczpre  13076  pcdiv  13081  pcneg  13104  prdsex  14172  prdsval  14173  xmetxp  15608  xmetxpbl  15609  txmetcnp  15619  qtopbasss  15622  hovera  15748  hoverb  15749  hoverlt1  15750  hovergt0  15751  ivthdich  15754  repiecele0  17075  repiecege0  17076  repiecef  17077