Theorem supeq1d 7327

Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
supeq1d.1	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
supeq1d	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supeq1d.1	. 2 |- ( ph -> B = C )
2		supeq1 7326	. 2 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   supcsup 7322

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-uni 3936  df-sup 7324

This theorem is used by:  sup3exmid  9289  supminfex  10006  suprzubdc  10681  minmax  12011  xrminmax  12047  xrminrecl  12055  xrminadd  12057  gcdval  12752  gcdass  12808  pceulem  13093  pceu  13094  pcval  13095  pczpre  13096  pcdiv  13101  pcneg  13124  prdsex  14221  prdsval  14222  xmetxp  15657  xmetxpbl  15658  txmetcnp  15668  qtopbasss  15671  hovera  15797  hoverb  15798  hoverlt1  15799  hovergt0  15800  ivthdich  15803  repiecele0  17173  repiecege0  17174  repiecef  17175