Theorem tapeq1 7251

Description: Equality theorem for tight apartness predicate. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tapeq1	|- ( R = S -> ( R TAp A <-> S TAp A ) )

Proof of Theorem tapeq1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3179	. . 3 |- ( R = S -> ( R C_ ( A X. A ) <-> S C_ ( A X. A ) ) )
2		breq 4006	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( x R x <-> x S x ) )
3	2	notbid 667	. . . . 5 |- ( R = S -> ( -. x R x <-> -. x S x ) )
4	3	ralbidv 2477	. . . 4 |- ( R = S -> ( A. x e. A -. x R x <-> A. x e. A -. x S x ) )
5		breq 4006	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( x R y <-> x S y ) )
6		breq 4006	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( y R x <-> y S x ) )
7	5, 6	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( R = S -> ( ( x R y -> y R x ) <-> ( x S y -> y S x ) ) )
8	7	2ralbidv 2501	. . . 4 |- ( R = S -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x S y -> y S x ) ) )
9	4, 8	anbi12d 473	. . 3 |- ( R = S -> ( ( A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) ) <-> ( A. x e. A -. x S x /\ A. x e. A A. y e. A ( x S y -> y S x ) ) ) )
10		breq 4006	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( x R z <-> x S z ) )
11		breq 4006	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( y R z <-> y S z ) )
12	10, 11	orbi12d 793	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( ( x R z \/ y R z ) <-> ( x S z \/ y S z ) ) )
13	5, 12	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) ) )
14	13	ralbidv 2477	. . . . 5 |- ( R = S -> ( A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. z e. A ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) ) )
15	14	2ralbidv 2501	. . . 4 |- ( R = S -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) ) )
16	5	notbid 667	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( -. x R y <-> -. x S y ) )
17	16	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( R = S -> ( ( -. x R y -> x = y ) <-> ( -. x S y -> x = y ) ) )
18	17	2ralbidv 2501	. . . 4 |- ( R = S -> ( A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( -. x S y -> x = y ) ) )
19	15, 18	anbi12d 473	. . 3 |- ( R = S -> ( ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x S y -> x = y ) ) ) )
20	1, 9, 19	3anbi123d 1312	. 2 |- ( R = S -> ( ( R C_ ( A X. A ) /\ ( A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) ) ) <-> ( S C_ ( A X. A ) /\ ( A. x e. A -. x S x /\ A. x e. A A. y e. A ( x S y -> y S x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x S y -> x = y ) ) ) ) )
21		dftap2 7250	. 2 |- ( R TAp A <-> ( R C_ ( A X. A ) /\ ( A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) ) ) )
22		dftap2 7250	. 2 |- ( S TAp A <-> ( S C_ ( A X. A ) /\ ( A. x e. A -. x S x /\ A. x e. A A. y e. A ( x S y -> y S x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x S y -> x = y ) ) ) )
23	20, 21, 22	3bitr4g 223	1 |- ( R = S -> ( R TAp A <-> S TAp A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   A.wral 2455   C_ wss 3130   class class class wbr 4004   X. cxp 4625   TAp wtap 7248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-ral 2460  df-in 3136  df-ss 3143  df-br 4005  df-pap 7247  df-tap 7249

This theorem is referenced by:  2omotaplemst  7257  exmidapne  7259  exmidmotap  7260