Theorem tapeq1 7312

Description: Equality theorem for tight apartness predicate. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tapeq1	|- ( R = S -> ( R TAp A <-> S TAp A ) )

Proof of Theorem tapeq1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3202	. . 3 |- ( R = S -> ( R C_ ( A X. A ) <-> S C_ ( A X. A ) ) )
2		breq 4031	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( x R x <-> x S x ) )
3	2	notbid 668	. . . . 5 |- ( R = S -> ( -. x R x <-> -. x S x ) )
4	3	ralbidv 2494	. . . 4 |- ( R = S -> ( A. x e. A -. x R x <-> A. x e. A -. x S x ) )
5		breq 4031	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( x R y <-> x S y ) )
6		breq 4031	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( y R x <-> y S x ) )
7	5, 6	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( R = S -> ( ( x R y -> y R x ) <-> ( x S y -> y S x ) ) )
8	7	2ralbidv 2518	. . . 4 |- ( R = S -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x S y -> y S x ) ) )
9	4, 8	anbi12d 473	. . 3 |- ( R = S -> ( ( A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) ) <-> ( A. x e. A -. x S x /\ A. x e. A A. y e. A ( x S y -> y S x ) ) ) )
10		breq 4031	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( x R z <-> x S z ) )
11		breq 4031	. . . . . . . 8 |- ( R = S -> ( y R z <-> y S z ) )
12	10, 11	orbi12d 794	. . . . . . 7 |- ( R = S -> ( ( x R z \/ y R z ) <-> ( x S z \/ y S z ) ) )
13	5, 12	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) ) )
14	13	ralbidv 2494	. . . . 5 |- ( R = S -> ( A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. z e. A ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) ) )
15	14	2ralbidv 2518	. . . 4 |- ( R = S -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) ) )
16	5	notbid 668	. . . . . 6 |- ( R = S -> ( -. x R y <-> -. x S y ) )
17	16	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( R = S -> ( ( -. x R y -> x = y ) <-> ( -. x S y -> x = y ) ) )
18	17	2ralbidv 2518	. . . 4 |- ( R = S -> ( A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( -. x S y -> x = y ) ) )
19	15, 18	anbi12d 473	. . 3 |- ( R = S -> ( ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x S y -> x = y ) ) ) )
20	1, 9, 19	3anbi123d 1323	. 2 |- ( R = S -> ( ( R C_ ( A X. A ) /\ ( A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) ) ) <-> ( S C_ ( A X. A ) /\ ( A. x e. A -. x S x /\ A. x e. A A. y e. A ( x S y -> y S x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x S y -> x = y ) ) ) ) )
21		dftap2 7311	. 2 |- ( R TAp A <-> ( R C_ ( A X. A ) /\ ( A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) ) ) )
22		dftap2 7311	. 2 |- ( S TAp A <-> ( S C_ ( A X. A ) /\ ( A. x e. A -. x S x /\ A. x e. A A. y e. A ( x S y -> y S x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x S y -> ( x S z \/ y S z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x S y -> x = y ) ) ) )
23	20, 21, 22	3bitr4g 223	1 |- ( R = S -> ( R TAp A <-> S TAp A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   A.wral 2472   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   X. cxp 4657   TAp wtap 7309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-ral 2477  df-in 3159  df-ss 3166  df-br 4030  df-pap 7308  df-tap 7310

This theorem is referenced by:  2omotaplemst  7318  exmidapne  7320  exmidmotap  7321