Theorem tapeq2 7515

Description: Equality theorem for tight apartness predicate. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tapeq2	|- ( A = B -> ( R TAp A <-> R TAp B ) )

Proof of Theorem tapeq2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq12 4750	. . . . 5 |- ( ( A = B /\ A = B ) -> ( A X. A ) = ( B X. B ) )
2	1	anidms 397	. . . 4 |- ( A = B -> ( A X. A ) = ( B X. B ) )
3	2	sseq2d 3258	. . 3 |- ( A = B -> ( R C_ ( A X. A ) <-> R C_ ( B X. B ) ) )
4		raleq 2731	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. A -. x R x <-> A. x e. B -. x R x ) )
5		raleq 2731	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A. y e. A ( x R y -> y R x ) <-> A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) )
6	5	raleqbi1dv 2743	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) )
7	4, 6	anbi12d 473	. . 3 |- ( A = B -> ( ( A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) ) <-> ( A. x e. B -. x R x /\ A. x e. B A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) ) )
8		raleq 2731	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) )
9	8	raleqbi1dv 2743	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) )
10	9	raleqbi1dv 2743	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) )
11		raleq 2731	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) <-> A. y e. B ( -. x R y -> x = y ) ) )
12	11	raleqbi1dv 2743	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) <-> A. x e. B A. y e. B ( -. x R y -> x = y ) ) )
13	10, 12	anbi12d 473	. . 3 |- ( A = B -> ( ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( -. x R y -> x = y ) ) ) )
14	3, 7, 13	3anbi123d 1349	. 2 |- ( A = B -> ( ( R C_ ( A X. A ) /\ ( A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) ) ) <-> ( R C_ ( B X. B ) /\ ( A. x e. B -. x R x /\ A. x e. B A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) /\ ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( -. x R y -> x = y ) ) ) ) )
15		dftap2 7513	. 2 |- ( R TAp A <-> ( R C_ ( A X. A ) /\ ( A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) ) ) )
16		dftap2 7513	. 2 |- ( R TAp B <-> ( R C_ ( B X. B ) /\ ( A. x e. B -. x R x /\ A. x e. B A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) /\ ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( -. x R y -> x = y ) ) ) )
17	14, 15, 16	3bitr4g 223	1 |- ( A = B -> ( R TAp A <-> R TAp B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   A.wral 2511   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   X. cxp 4729   TAp wtap 7511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-in 3207  df-ss 3214  df-opab 4156  df-xp 4737  df-pap 7510  df-tap 7512

This theorem is referenced by:  exmidmotap  7523