Theorem tapeq2 7320

Description: Equality theorem for tight apartness predicate. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tapeq2	|- ( A = B -> ( R TAp A <-> R TAp B ) )

Proof of Theorem tapeq2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq12 4682	. . . . 5 |- ( ( A = B /\ A = B ) -> ( A X. A ) = ( B X. B ) )
2	1	anidms 397	. . . 4 |- ( A = B -> ( A X. A ) = ( B X. B ) )
3	2	sseq2d 3213	. . 3 |- ( A = B -> ( R C_ ( A X. A ) <-> R C_ ( B X. B ) ) )
4		raleq 2693	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. A -. x R x <-> A. x e. B -. x R x ) )
5		raleq 2693	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A. y e. A ( x R y -> y R x ) <-> A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) )
6	5	raleqbi1dv 2705	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) )
7	4, 6	anbi12d 473	. . 3 |- ( A = B -> ( ( A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) ) <-> ( A. x e. B -. x R x /\ A. x e. B A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) ) )
8		raleq 2693	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) )
9	8	raleqbi1dv 2705	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) )
10	9	raleqbi1dv 2705	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) )
11		raleq 2693	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) <-> A. y e. B ( -. x R y -> x = y ) ) )
12	11	raleqbi1dv 2705	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) <-> A. x e. B A. y e. B ( -. x R y -> x = y ) ) )
13	10, 12	anbi12d 473	. . 3 |- ( A = B -> ( ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( -. x R y -> x = y ) ) ) )
14	3, 7, 13	3anbi123d 1323	. 2 |- ( A = B -> ( ( R C_ ( A X. A ) /\ ( A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) ) ) <-> ( R C_ ( B X. B ) /\ ( A. x e. B -. x R x /\ A. x e. B A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) /\ ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( -. x R y -> x = y ) ) ) ) )
15		dftap2 7318	. 2 |- ( R TAp A <-> ( R C_ ( A X. A ) /\ ( A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) ) ) )
16		dftap2 7318	. 2 |- ( R TAp B <-> ( R C_ ( B X. B ) /\ ( A. x e. B -. x R x /\ A. x e. B A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) /\ ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( -. x R y -> x = y ) ) ) )
17	14, 15, 16	3bitr4g 223	1 |- ( A = B -> ( R TAp A <-> R TAp B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   A.wral 2475   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   TAp wtap 7316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-in 3163  df-ss 3170  df-opab 4095  df-xp 4669  df-pap 7315  df-tap 7317

This theorem is referenced by:  exmidmotap  7328