Theorem tapeq2 7365

Description: Equality theorem for tight apartness predicate. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tapeq2	|- ( A = B -> ( R TAp A <-> R TAp B ) )

Proof of Theorem tapeq2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq12 4694	. . . . 5 |- ( ( A = B /\ A = B ) -> ( A X. A ) = ( B X. B ) )
2	1	anidms 397	. . . 4 |- ( A = B -> ( A X. A ) = ( B X. B ) )
3	2	sseq2d 3223	. . 3 |- ( A = B -> ( R C_ ( A X. A ) <-> R C_ ( B X. B ) ) )
4		raleq 2702	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. A -. x R x <-> A. x e. B -. x R x ) )
5		raleq 2702	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A. y e. A ( x R y -> y R x ) <-> A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) )
6	5	raleqbi1dv 2714	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) )
7	4, 6	anbi12d 473	. . 3 |- ( A = B -> ( ( A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) ) <-> ( A. x e. B -. x R x /\ A. x e. B A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) ) )
8		raleq 2702	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) )
9	8	raleqbi1dv 2714	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) )
10	9	raleqbi1dv 2714	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) ) )
11		raleq 2702	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) <-> A. y e. B ( -. x R y -> x = y ) ) )
12	11	raleqbi1dv 2714	. . . 4 |- ( A = B -> ( A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) <-> A. x e. B A. y e. B ( -. x R y -> x = y ) ) )
13	10, 12	anbi12d 473	. . 3 |- ( A = B -> ( ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( -. x R y -> x = y ) ) ) )
14	3, 7, 13	3anbi123d 1325	. 2 |- ( A = B -> ( ( R C_ ( A X. A ) /\ ( A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) ) ) <-> ( R C_ ( B X. B ) /\ ( A. x e. B -. x R x /\ A. x e. B A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) /\ ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( -. x R y -> x = y ) ) ) ) )
15		dftap2 7363	. 2 |- ( R TAp A <-> ( R C_ ( A X. A ) /\ ( A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> y R x ) ) /\ ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( -. x R y -> x = y ) ) ) )
16		dftap2 7363	. 2 |- ( R TAp B <-> ( R C_ ( B X. B ) /\ ( A. x e. B -. x R x /\ A. x e. B A. y e. B ( x R y -> y R x ) ) /\ ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x R y -> ( x R z \/ y R z ) ) /\ A. x e. B A. y e. B ( -. x R y -> x = y ) ) ) )
17	14, 15, 16	3bitr4g 223	1 |- ( A = B -> ( R TAp A <-> R TAp B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   = wceq 1373   A.wral 2484   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   X. cxp 4673   TAp wtap 7361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-in 3172  df-ss 3179  df-opab 4106  df-xp 4681  df-pap 7360  df-tap 7362

This theorem is referenced by:  exmidmotap  7373