Theorem uniin 3830

Description: The class union of the intersection of two classes. Exercise 4.12(n) of [Mendelson] p. 235. (Contributed by NM, 4-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
uniin	|- U. ( A i^i B ) C_ ( U. A i^i U. B )

Proof of Theorem uniin

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.40 1631	. . . 4 |- ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ ( x e. y /\ y e. B ) ) -> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) )
2		elin 3319	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A i^i B ) <-> ( y e. A /\ y e. B ) )
3	2	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) )
4		anandi 590	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
5	3, 4	bitri 184	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
6	5	exbii 1605	. . . 4 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) <-> E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
7		eluni 3813	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
8		eluni 3813	. . . . 5 |- ( x e. U. B <-> E. y ( x e. y /\ y e. B ) )
9	7, 8	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( x e. U. A /\ x e. U. B ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) )
10	1, 6, 9	3imtr4i 201	. . 3 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) -> ( x e. U. A /\ x e. U. B ) )
11		eluni 3813	. . 3 |- ( x e. U. ( A i^i B ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) )
12		elin 3319	. . 3 |- ( x e. ( U. A i^i U. B ) <-> ( x e. U. A /\ x e. U. B ) )
13	10, 11, 12	3imtr4i 201	. 2 |- ( x e. U. ( A i^i B ) -> x e. ( U. A i^i U. B ) )
14	13	ssriv 3160	1 |- U. ( A i^i B ) C_ ( U. A i^i U. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   E.wex 1492   e. wcel 2148   i^i cin 3129   C_ wss 3130   U.cuni 3810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2740  df-in 3136  df-ss 3143  df-uni 3811

This theorem is referenced by:  tgval  12711