Theorem uniin 3816

Description: The class union of the intersection of two classes. Exercise 4.12(n) of [Mendelson] p. 235. (Contributed by NM, 4-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
uniin	|- U. ( A i^i B ) C_ ( U. A i^i U. B )

Proof of Theorem uniin

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.40 1624	. . . 4 |- ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ ( x e. y /\ y e. B ) ) -> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) )
2		elin 3310	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A i^i B ) <-> ( y e. A /\ y e. B ) )
3	2	anbi2i 454	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) )
4		anandi 585	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
5	3, 4	bitri 183	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
6	5	exbii 1598	. . . 4 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) <-> E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
7		eluni 3799	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
8		eluni 3799	. . . . 5 |- ( x e. U. B <-> E. y ( x e. y /\ y e. B ) )
9	7, 8	anbi12i 457	. . . 4 |- ( ( x e. U. A /\ x e. U. B ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) )
10	1, 6, 9	3imtr4i 200	. . 3 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) -> ( x e. U. A /\ x e. U. B ) )
11		eluni 3799	. . 3 |- ( x e. U. ( A i^i B ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) )
12		elin 3310	. . 3 |- ( x e. ( U. A i^i U. B ) <-> ( x e. U. A /\ x e. U. B ) )
13	10, 11, 12	3imtr4i 200	. 2 |- ( x e. U. ( A i^i B ) -> x e. ( U. A i^i U. B ) )
14	13	ssriv 3151	1 |- U. ( A i^i B ) C_ ( U. A i^i U. B )

Syntax hints:   /\ wa 103   E.wex 1485   e. wcel 2141   i^i cin 3120   C_ wss 3121   U.cuni 3796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-uni 3797

This theorem is referenced by:  tgval  12843