Theorem tgval 12716

Description: The topology generated by a basis. See also tgval2 13636 and tgval3 13643. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgval	|- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )

Distinct variable groups:   x, B   x, V

Proof of Theorem tgval

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2750	. 2 |- ( B e. V -> B e. _V )
2		uniexg 4441	. . 3 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
3		abssexg 4184	. . 3 |- ( U. B e. _V -> { x | ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) } e. _V )
4		uniin 3831	. . . . . . 7 |- U. ( B i^i ~P x ) C_ ( U. B i^i U. ~P x )
5		sstr 3165	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) /\ U. ( B i^i ~P x ) C_ ( U. B i^i U. ~P x ) ) -> x C_ ( U. B i^i U. ~P x ) )
6	4, 5	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> x C_ ( U. B i^i U. ~P x ) )
7		ssin 3359	. . . . . 6 |- ( ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) <-> x C_ ( U. B i^i U. ~P x ) )
8	6, 7	sylibr 134	. . . . 5 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) )
9	8	ss2abi 3229	. . . 4 |- { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } C_ { x | ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) }
10		ssexg 4144	. . . 4 |- ( ( { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } C_ { x | ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) } /\ { x | ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) } e. _V ) -> { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } e. _V )
11	9, 10	mpan 424	. . 3 |- ( { x | ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) } e. _V -> { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } e. _V )
12	2, 3, 11	3syl 17	. 2 |- ( B e. V -> { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } e. _V )
13		ineq1 3331	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( y i^i ~P x ) = ( B i^i ~P x ) )
14	13	unieqd 3822	. . . . 5 |- ( y = B -> U. ( y i^i ~P x ) = U. ( B i^i ~P x ) )
15	14	sseq2d 3187	. . . 4 |- ( y = B -> ( x C_ U. ( y i^i ~P x ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
16	15	abbidv 2295	. . 3 |- ( y = B -> { x | x C_ U. ( y i^i ~P x ) } = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )
17		df-topgen 12714	. . 3 |- topGen = ( y e. _V |-> { x | x C_ U. ( y i^i ~P x ) } )
18	16, 17	fvmptg 5594	. 2 |- ( ( B e. _V /\ { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } e. _V ) -> ( topGen ` B ) = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )
19	1, 12, 18	syl2anc 411	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   _Vcvv 2739   i^i cin 3130   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577   U.cuni 3811   ` cfv 5218   topGenctg 12708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-topgen 12714

This theorem is referenced by:  tgvalex  12717  tgval2  13636  eltg  13637