Theorem tgval 12873

Description: The topology generated by a basis. See also tgval2 14219 and tgval3 14226. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgval	|- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )

Distinct variable groups:   x, B   x, V

Proof of Theorem tgval

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2771	. 2 |- ( B e. V -> B e. _V )
2		uniexg 4470	. . 3 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
3		abssexg 4211	. . 3 |- ( U. B e. _V -> { x | ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) } e. _V )
4		uniin 3855	. . . . . . 7 |- U. ( B i^i ~P x ) C_ ( U. B i^i U. ~P x )
5		sstr 3187	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) /\ U. ( B i^i ~P x ) C_ ( U. B i^i U. ~P x ) ) -> x C_ ( U. B i^i U. ~P x ) )
6	4, 5	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> x C_ ( U. B i^i U. ~P x ) )
7		ssin 3381	. . . . . 6 |- ( ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) <-> x C_ ( U. B i^i U. ~P x ) )
8	6, 7	sylibr 134	. . . . 5 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) )
9	8	ss2abi 3251	. . . 4 |- { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } C_ { x | ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) }
10		ssexg 4168	. . . 4 |- ( ( { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } C_ { x | ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) } /\ { x | ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) } e. _V ) -> { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } e. _V )
11	9, 10	mpan 424	. . 3 |- ( { x | ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) } e. _V -> { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } e. _V )
12	2, 3, 11	3syl 17	. 2 |- ( B e. V -> { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } e. _V )
13		ineq1 3353	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( y i^i ~P x ) = ( B i^i ~P x ) )
14	13	unieqd 3846	. . . . 5 |- ( y = B -> U. ( y i^i ~P x ) = U. ( B i^i ~P x ) )
15	14	sseq2d 3209	. . . 4 |- ( y = B -> ( x C_ U. ( y i^i ~P x ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
16	15	abbidv 2311	. . 3 |- ( y = B -> { x | x C_ U. ( y i^i ~P x ) } = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )
17		df-topgen 12871	. . 3 |- topGen = ( y e. _V |-> { x | x C_ U. ( y i^i ~P x ) } )
18	16, 17	fvmptg 5633	. 2 |- ( ( B e. _V /\ { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } e. _V ) -> ( topGen ` B ) = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )
19	1, 12, 18	syl2anc 411	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   _Vcvv 2760   i^i cin 3152   C_ wss 3153   ~Pcpw 3601   U.cuni 3835   ` cfv 5254   topGenctg 12865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-topgen 12871

This theorem is referenced by:  tgvalex  12874  tgval2  14219  eltg  14220