Theorem tgval 13616

Description: The topology generated by a basis. See also tgval2 15152 and tgval3 15159. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgval	|- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )

Distinct variable groups:   x, B   x, V

Proof of Theorem tgval

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 |- ( B e. V -> B e. _V )
2		uniexg 4585	. . 3 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
3		abssexg 4319	. . 3 |- ( U. B e. _V -> { x | ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) } e. _V )
4		uniin 3955	. . . . . . 7 |- U. ( B i^i ~P x ) C_ ( U. B i^i U. ~P x )
5		sstr 3256	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) /\ U. ( B i^i ~P x ) C_ ( U. B i^i U. ~P x ) ) -> x C_ ( U. B i^i U. ~P x ) )
6	4, 5	mpan2 429	. . . . . 6 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> x C_ ( U. B i^i U. ~P x ) )
7		ssin 3453	. . . . . 6 |- ( ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) <-> x C_ ( U. B i^i U. ~P x ) )
8	6, 7	sylibr 134	. . . . 5 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) )
9	8	ss2abi 3320	. . . 4 |- { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } C_ { x | ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) }
10		ssexg 4272	. . . 4 |- ( ( { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } C_ { x | ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) } /\ { x | ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) } e. _V ) -> { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } e. _V )
11	9, 10	mpan 428	. . 3 |- ( { x | ( x C_ U. B /\ x C_ U. ~P x ) } e. _V -> { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } e. _V )
12	2, 3, 11	3syl 17	. 2 |- ( B e. V -> { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } e. _V )
13		ineq1 3425	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( y i^i ~P x ) = ( B i^i ~P x ) )
14	13	unieqd 3946	. . . . 5 |- ( y = B -> U. ( y i^i ~P x ) = U. ( B i^i ~P x ) )
15	14	sseq2d 3278	. . . 4 |- ( y = B -> ( x C_ U. ( y i^i ~P x ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) )
16	15	abbidv 2358	. . 3 |- ( y = B -> { x | x C_ U. ( y i^i ~P x ) } = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )
17		df-topgen 13614	. . 3 |- topGen = ( y e. _V |-> { x | x C_ U. ( y i^i ~P x ) } )
18	16, 17	fvmptg 5781	. 2 |- ( ( B e. _V /\ { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } e. _V ) -> ( topGen ` B ) = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )
19	1, 12, 18	syl2anc 415	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   U.cuni 3935   ` cfv 5377   topGenctg 13608

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-topgen 13614

This theorem is used by:  tgvalex  13617  tgval2  15152  eltg  15153