Theorem uniun 3858

Description: The class union of the union of two classes. Theorem 8.3 of [Quine] p. 53. (Contributed by NM, 20-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
uniun	|- U. ( A u. B ) = ( U. A u. U. B )

Proof of Theorem uniun

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.43 1642	. . . 4 |- ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) \/ ( x e. y /\ y e. B ) ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) \/ E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) )
2		elun 3304	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A u. B ) <-> ( y e. A \/ y e. B ) )
3	2	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A \/ y e. B ) ) )
4		andi 819	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ ( y e. A \/ y e. B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y e. A ) \/ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
5	3, 4	bitri 184	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y e. A ) \/ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
6	5	exbii 1619	. . . 4 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) <-> E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) \/ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
7		eluni 3842	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
8		eluni 3842	. . . . 5 |- ( x e. U. B <-> E. y ( x e. y /\ y e. B ) )
9	7, 8	orbi12i 765	. . . 4 |- ( ( x e. U. A \/ x e. U. B ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) \/ E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) )
10	1, 6, 9	3bitr4i 212	. . 3 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) <-> ( x e. U. A \/ x e. U. B ) )
11		eluni 3842	. . 3 |- ( x e. U. ( A u. B ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) )
12		elun 3304	. . 3 |- ( x e. ( U. A u. U. B ) <-> ( x e. U. A \/ x e. U. B ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 212	. 2 |- ( x e. U. ( A u. B ) <-> x e. ( U. A u. U. B ) )
14	13	eqriv 2193	1 |- U. ( A u. B ) = ( U. A u. U. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   u. cun 3155   U.cuni 3839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-uni 3840

This theorem is referenced by:  unisuc  4448  unisucg  4449