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Theorem uniun 3813
Description: The class union of the union of two classes. Theorem 8.3 of [Quine] p. 53. (Contributed by NM, 20-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
uniun  |-  U. ( A  u.  B )  =  ( U. A  u.  U. B )

Proof of Theorem uniun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.43 1621 . . . 4  |-  ( E. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  (
x  e.  y  /\  y  e.  B )
)  <->  ( E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  \/  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
2 elun 3268 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  u.  B )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) )
32anbi2i 454 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B ) )  <->  ( x  e.  y  /\  (
y  e.  A  \/  y  e.  B )
) )
4 andi 813 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  \/  y  e.  B
) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
53, 4bitri 183 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
65exbii 1598 . . . 4  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B
) )  <->  E. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  (
x  e.  y  /\  y  e.  B )
) )
7 eluni 3797 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
8 eluni 3797 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) )
97, 8orbi12i 759 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. A  \/  x  e.  U. B
)  <->  ( E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  \/  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
101, 6, 93bitr4i 211 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B
) )  <->  ( x  e.  U. A  \/  x  e.  U. B ) )
11 eluni 3797 . . 3  |-  ( x  e.  U. ( A  u.  B )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
12 elun 3268 . . 3  |-  ( x  e.  ( U. A  u.  U. B )  <->  ( x  e.  U. A  \/  x  e.  U. B ) )
1310, 11, 123bitr4i 211 . 2  |-  ( x  e.  U. ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( U. A  u.  U. B ) )
1413eqriv 2167 1  |-  U. ( A  u.  B )  =  ( U. A  u.  U. B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    \/ wo 703    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141    u. cun 3119   U.cuni 3794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-uni 3795
This theorem is referenced by:  unisuc  4396  unisucg  4397
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