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Theorem uniun 3725
Description: The class union of the union of two classes. Theorem 8.3 of [Quine] p. 53. (Contributed by NM, 20-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
uniun  |-  U. ( A  u.  B )  =  ( U. A  u.  U. B )

Proof of Theorem uniun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.43 1592 . . . 4  |-  ( E. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  (
x  e.  y  /\  y  e.  B )
)  <->  ( E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  \/  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
2 elun 3187 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  u.  B )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) )
32anbi2i 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B ) )  <->  ( x  e.  y  /\  (
y  e.  A  \/  y  e.  B )
) )
4 andi 792 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  \/  y  e.  B
) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
53, 4bitri 183 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
65exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B
) )  <->  E. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  (
x  e.  y  /\  y  e.  B )
) )
7 eluni 3709 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
8 eluni 3709 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) )
97, 8orbi12i 738 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. A  \/  x  e.  U. B
)  <->  ( E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  \/  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
101, 6, 93bitr4i 211 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B
) )  <->  ( x  e.  U. A  \/  x  e.  U. B ) )
11 eluni 3709 . . 3  |-  ( x  e.  U. ( A  u.  B )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  B ) ) )
12 elun 3187 . . 3  |-  ( x  e.  ( U. A  u.  U. B )  <->  ( x  e.  U. A  \/  x  e.  U. B ) )
1310, 11, 123bitr4i 211 . 2  |-  ( x  e.  U. ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( U. A  u.  U. B ) )
1413eqriv 2114 1  |-  U. ( A  u.  B )  =  ( U. A  u.  U. B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    \/ wo 682    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465    u. cun 3039   U.cuni 3706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-v 2662  df-un 3045  df-uni 3707
This theorem is referenced by:  unisuc  4305  unisucg  4306
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