Theorem unopn 12161

Description: The union of two open sets is open. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
unopn	|- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> ( A u. B ) e. J )

Proof of Theorem unopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniprg 3746	. . 3 |- ( ( A e. J /\ B e. J ) -> U. { A , B } = ( A u. B ) )
2	1	3adant1 999	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> U. { A , B } = ( A u. B ) )
3		prssi 3673	. . . 4 |- ( ( A e. J /\ B e. J ) -> { A , B } C_ J )
4		uniopn 12157	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ { A , B } C_ J ) -> U. { A , B } e. J )
5	3, 4	sylan2 284	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( A e. J /\ B e. J ) ) -> U. { A , B } e. J )
6	5	3impb 1177	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> U. { A , B } e. J )
7	2, 6	eqeltrrd 2215	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> ( A u. B ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   u. cun 3064   C_ wss 3066   {cpr 3523   U.cuni 3731   Topctop 12153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-top 12154

This theorem is referenced by:  reopnap  12696