ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unopn Unicode version

Theorem unopn 12182
Description: The union of two open sets is open. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
unopn  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J  /\  B  e.  J )  ->  ( A  u.  B
)  e.  J )

Proof of Theorem unopn
StepHypRef Expression
1 uniprg 3751 . . 3  |-  ( ( A  e.  J  /\  B  e.  J )  ->  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B )
)
213adant1 999 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J  /\  B  e.  J )  ->  U. { A ,  B }  =  ( A  u.  B )
)
3 prssi 3678 . . . 4  |-  ( ( A  e.  J  /\  B  e.  J )  ->  { A ,  B }  C_  J )
4 uniopn 12178 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { A ,  B }  C_  J )  ->  U. { A ,  B }  e.  J )
53, 4sylan2 284 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  e.  J  /\  B  e.  J
) )  ->  U. { A ,  B }  e.  J )
653impb 1177 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J  /\  B  e.  J )  ->  U. { A ,  B }  e.  J
)
72, 6eqeltrrd 2217 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  J  /\  B  e.  J )  ->  ( A  u.  B
)  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480    u. cun 3069    C_ wss 3071   {cpr 3528   U.cuni 3736   Topctop 12174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-top 12175
This theorem is referenced by:  reopnap  12717
  Copyright terms: Public domain W3C validator