Theorem unopn 14870

Description: The union of two open sets is open. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
unopn	|- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> ( A u. B ) e. J )

Proof of Theorem unopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniprg 3929	. . 3 |- ( ( A e. J /\ B e. J ) -> U. { A , B } = ( A u. B ) )
2	1	3adant1 1042	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> U. { A , B } = ( A u. B ) )
3		prssi 3852	. . . 4 |- ( ( A e. J /\ B e. J ) -> { A , B } C_ J )
4		uniopn 14866	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ { A , B } C_ J ) -> U. { A , B } e. J )
5	3, 4	sylan2 286	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( A e. J /\ B e. J ) ) -> U. { A , B } e. J )
6	5	3impb 1226	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> U. { A , B } e. J )
7	2, 6	eqeltrrd 2310	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> ( A u. B ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   u. cun 3209   C_ wss 3211   {cpr 3690   U.cuni 3914   Topctop 14862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-sep 4228

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-top 14863

This theorem is referenced by:  reopnap  15411