Theorem unopn 13990

Description: The union of two open sets is open. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
unopn	|- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> ( A u. B ) e. J )

Proof of Theorem unopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniprg 3842	. . 3 |- ( ( A e. J /\ B e. J ) -> U. { A , B } = ( A u. B ) )
2	1	3adant1 1017	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> U. { A , B } = ( A u. B ) )
3		prssi 3768	. . . 4 |- ( ( A e. J /\ B e. J ) -> { A , B } C_ J )
4		uniopn 13986	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ { A , B } C_ J ) -> U. { A , B } e. J )
5	3, 4	sylan2 286	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( A e. J /\ B e. J ) ) -> U. { A , B } e. J )
6	5	3impb 1201	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> U. { A , B } e. J )
7	2, 6	eqeltrrd 2267	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> ( A u. B ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   u. cun 3142   C_ wss 3144   {cpr 3611   U.cuni 3827   Topctop 13982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-sep 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-uni 3828  df-top 13983

This theorem is referenced by:  reopnap  14523