Theorem unopn 13590

Description: The union of two open sets is open. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
unopn	|- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> ( A u. B ) e. J )

Proof of Theorem unopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniprg 3826	. . 3 |- ( ( A e. J /\ B e. J ) -> U. { A , B } = ( A u. B ) )
2	1	3adant1 1015	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> U. { A , B } = ( A u. B ) )
3		prssi 3752	. . . 4 |- ( ( A e. J /\ B e. J ) -> { A , B } C_ J )
4		uniopn 13586	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ { A , B } C_ J ) -> U. { A , B } e. J )
5	3, 4	sylan2 286	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( A e. J /\ B e. J ) ) -> U. { A , B } e. J )
6	5	3impb 1199	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> U. { A , B } e. J )
7	2, 6	eqeltrrd 2255	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> ( A u. B ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   u. cun 3129   C_ wss 3131   {cpr 3595   U.cuni 3811   Topctop 13582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-top 13583

This theorem is referenced by:  reopnap  14123