Theorem unopn 14477

Description: The union of two open sets is open. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
unopn	|- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> ( A u. B ) e. J )

Proof of Theorem unopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniprg 3865	. . 3 |- ( ( A e. J /\ B e. J ) -> U. { A , B } = ( A u. B ) )
2	1	3adant1 1018	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> U. { A , B } = ( A u. B ) )
3		prssi 3791	. . . 4 |- ( ( A e. J /\ B e. J ) -> { A , B } C_ J )
4		uniopn 14473	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ { A , B } C_ J ) -> U. { A , B } e. J )
5	3, 4	sylan2 286	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( A e. J /\ B e. J ) ) -> U. { A , B } e. J )
6	5	3impb 1202	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> U. { A , B } e. J )
7	2, 6	eqeltrrd 2283	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> ( A u. B ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   u. cun 3164   C_ wss 3166   {cpr 3634   U.cuni 3850   Topctop 14469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-sep 4162

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-top 14470

This theorem is referenced by:  reopnap  15018