ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reopnap Unicode version
Theorem reopnap 13293
Description: The real numbers apart from a given real number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
reopnap |- ( A e. RR -> { w e. RR | w # A } e. ( topGen ` ran (,) ) )
Distinct variable group:   w, A
Proof of Theorem reopnap
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrabi 2883 . . . . 5 |- ( x e. { w e. RR | w # A } -> x e. RR )
21a1i 9 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( x e. { w e. RR | w # A } -> x e. RR ) )
3 elun 3268 . . . . 5 |- ( x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) <-> ( x e. ( -oo (,) A ) \/ x e. ( A (,) +oo ) ) )
4 rexr 7954 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
5 elioomnf 9914 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( x e. ( -oo (,) A ) <-> ( x e. RR /\ x < A ) ) )
64, 5syl 14 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( x e. ( -oo (,) A ) <-> ( x e. RR /\ x < A ) ) )
7 simpl 108 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ x < A ) -> x e. RR )
86, 7syl6bi 162 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( x e. ( -oo (,) A ) -> x e. RR ) )
9 elioopnf 9913 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ A < x ) ) )
104, 9syl 14 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ A < x ) ) )
11 simpl 108 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ A < x ) -> x e. RR )
1210, 11syl6bi 162 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( x e. ( A (,) +oo ) -> x e. RR ) )
138, 12jaod 712 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( x e. ( -oo (,) A ) \/ x e. ( A (,) +oo ) ) -> x e. RR ) )
143, 13syl5bi 151 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) -> x e. RR ) )
15 reaplt 8496 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ A e. RR ) -> ( x # A <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
1615ancoms 266 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x # A <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
17 breq1 3990 . . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( w # A <-> x # A ) )
1817elrab 2886 . . . . . . 7 |- ( x e. { w e. RR | w # A } <-> ( x e. RR /\ x # A ) )
19 ibar 299 . . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( x # A <-> ( x e. RR /\ x # A ) ) )
2019adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x # A <-> ( x e. RR /\ x # A ) ) )
2118, 20bitr4id 198 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x # A ) )
226baibd 918 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( -oo (,) A ) <-> x < A ) )
2310baibd 918 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> A < x ) )
2422, 23orbi12d 788 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( x e. ( -oo (,) A ) \/ x e. ( A (,) +oo ) ) <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
253, 24syl5bb 191 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
2616, 21, 253bitr4d 219 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) ) )
2726ex 114 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( x e. RR -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) ) ) )
282, 14, 27pm5.21ndd 700 . . 3 |- ( A e. RR -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) ) )
2928eqrdv 2168 . 2 |- ( A e. RR -> { w e. RR | w # A } = ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) )
30 retop 13279 . . 3 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
31 mnfxr 7965 . . . 4 |- -oo e. RR*
32 iooretopg 13283 . . . 4 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( -oo (,) A ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
3331, 4, 32sylancr 412 . . 3 |- ( A e. RR -> ( -oo (,) A ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
34 pnfxr 7961 . . . 4 |- +oo e. RR*
35 iooretopg 13283 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
364, 34, 35sylancl 411 . . 3 |- ( A e. RR -> ( A (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
37 unopn 12758 . . 3 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( -oo (,) A ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( A (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
3830, 33, 36, 37mp3an2i 1337 . 2 |- ( A e. RR -> ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
3929, 38eqeltrd 2247 1 |- ( A e. RR -> { w e. RR | w # A } e. ( topGen ` ran (,) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   e. wcel 2141   {crab 2452   u. cun 3119   class class class wbr 3987   ran crn 4610   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   RRcr 7762   +oocpnf 7940   -oocmnf 7941   RR*cxr 7942   < clt 7943   # cap 8489   (,)cioo 9834   topGenctg 12583   Topctop 12750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882  ax-caucvg 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-sup 6958  df-inf 6959  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-rp 9600  df-xneg 9718  df-ioo 9838  df-seqfrec 10391  df-exp 10465  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-rsqrt 10951  df-abs 10952  df-topgen 12589  df-top 12751  df-bases 12796
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator