Theorem reopnap 15133

Description: The real numbers apart from a given real number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reopnap	|- ( A e. RR -> { w e. RR | w # A } e. ( topGen ` ran (,) ) )

Distinct variable group:   w, A

Proof of Theorem reopnap

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 2933	. . . . 5 |- ( x e. { w e. RR | w # A } -> x e. RR )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( x e. { w e. RR | w # A } -> x e. RR ) )
3		elun 3322	. . . . 5 |- ( x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) <-> ( x e. ( -oo (,) A ) \/ x e. ( A (,) +oo ) ) )
4		rexr 8153	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
5		elioomnf 10125	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( x e. ( -oo (,) A ) <-> ( x e. RR /\ x < A ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( x e. ( -oo (,) A ) <-> ( x e. RR /\ x < A ) ) )
7		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ x < A ) -> x e. RR )
8	6, 7	biimtrdi 163	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( x e. ( -oo (,) A ) -> x e. RR ) )
9		elioopnf 10124	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ A < x ) ) )
10	4, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ A < x ) ) )
11		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ A < x ) -> x e. RR )
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( x e. ( A (,) +oo ) -> x e. RR ) )
13	8, 12	jaod 719	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( x e. ( -oo (,) A ) \/ x e. ( A (,) +oo ) ) -> x e. RR ) )
14	3, 13	biimtrid 152	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) -> x e. RR ) )
15		reaplt 8696	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ A e. RR ) -> ( x # A <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
16	15	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x # A <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
17		breq1 4062	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( w # A <-> x # A ) )
18	17	elrab 2936	. . . . . . 7 |- ( x e. { w e. RR | w # A } <-> ( x e. RR /\ x # A ) )
19		ibar 301	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( x # A <-> ( x e. RR /\ x # A ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x # A <-> ( x e. RR /\ x # A ) ) )
21	18, 20	bitr4id 199	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x # A ) )
22	6	baibd 925	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( -oo (,) A ) <-> x < A ) )
23	10	baibd 925	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> A < x ) )
24	22, 23	orbi12d 795	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( x e. ( -oo (,) A ) \/ x e. ( A (,) +oo ) ) <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
25	3, 24	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
26	16, 21, 25	3bitr4d 220	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) ) )
27	26	ex 115	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( x e. RR -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) ) ) )
28	2, 14, 27	pm5.21ndd 707	. . 3 |- ( A e. RR -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) ) )
29	28	eqrdv 2205	. 2 |- ( A e. RR -> { w e. RR | w # A } = ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) )
30		retop 15111	. . 3 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
31		mnfxr 8164	. . . 4 |- -oo e. RR*
32		iooretopg 15115	. . . 4 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( -oo (,) A ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
33	31, 4, 32	sylancr 414	. . 3 |- ( A e. RR -> ( -oo (,) A ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
34		pnfxr 8160	. . . 4 |- +oo e. RR*
35		iooretopg 15115	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
36	4, 34, 35	sylancl 413	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
37		unopn 14592	. . 3 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( -oo (,) A ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( A (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
38	30, 33, 36, 37	mp3an2i 1355	. 2 |- ( A e. RR -> ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
39	29, 38	eqeltrd 2284	1 |- ( A e. RR -> { w e. RR | w # A } e. ( topGen ` ran (,) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   e. wcel 2178   {crab 2490   u. cun 3172   class class class wbr 4059   ran crn 4694   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   RRcr 7959   +oocpnf 8139   -oocmnf 8140   RR*cxr 8141   < clt 8142   # cap 8689   (,)cioo 10045   topGenctg 13201   Topctop 14584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-ioo 10049  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-topgen 13207  df-top 14585  df-bases 14630

This theorem is referenced by: (None)