Theorem reopnap 14706

Description: The real numbers apart from a given real number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reopnap	|- ( A e. RR -> { w e. RR | w # A } e. ( topGen ` ran (,) ) )

Distinct variable group:   w, A

Proof of Theorem reopnap

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 2913	. . . . 5 |- ( x e. { w e. RR | w # A } -> x e. RR )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( x e. { w e. RR | w # A } -> x e. RR ) )
3		elun 3300	. . . . 5 |- ( x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) <-> ( x e. ( -oo (,) A ) \/ x e. ( A (,) +oo ) ) )
4		rexr 8065	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
5		elioomnf 10034	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( x e. ( -oo (,) A ) <-> ( x e. RR /\ x < A ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( x e. ( -oo (,) A ) <-> ( x e. RR /\ x < A ) ) )
7		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ x < A ) -> x e. RR )
8	6, 7	biimtrdi 163	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( x e. ( -oo (,) A ) -> x e. RR ) )
9		elioopnf 10033	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ A < x ) ) )
10	4, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ A < x ) ) )
11		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ A < x ) -> x e. RR )
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( x e. ( A (,) +oo ) -> x e. RR ) )
13	8, 12	jaod 718	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( x e. ( -oo (,) A ) \/ x e. ( A (,) +oo ) ) -> x e. RR ) )
14	3, 13	biimtrid 152	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) -> x e. RR ) )
15		reaplt 8607	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ A e. RR ) -> ( x # A <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
16	15	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x # A <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
17		breq1 4032	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( w # A <-> x # A ) )
18	17	elrab 2916	. . . . . . 7 |- ( x e. { w e. RR | w # A } <-> ( x e. RR /\ x # A ) )
19		ibar 301	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( x # A <-> ( x e. RR /\ x # A ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x # A <-> ( x e. RR /\ x # A ) ) )
21	18, 20	bitr4id 199	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x # A ) )
22	6	baibd 924	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( -oo (,) A ) <-> x < A ) )
23	10	baibd 924	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> A < x ) )
24	22, 23	orbi12d 794	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( x e. ( -oo (,) A ) \/ x e. ( A (,) +oo ) ) <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
25	3, 24	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
26	16, 21, 25	3bitr4d 220	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) ) )
27	26	ex 115	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( x e. RR -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) ) ) )
28	2, 14, 27	pm5.21ndd 706	. . 3 |- ( A e. RR -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) ) )
29	28	eqrdv 2191	. 2 |- ( A e. RR -> { w e. RR | w # A } = ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) )
30		retop 14692	. . 3 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
31		mnfxr 8076	. . . 4 |- -oo e. RR*
32		iooretopg 14696	. . . 4 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( -oo (,) A ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
33	31, 4, 32	sylancr 414	. . 3 |- ( A e. RR -> ( -oo (,) A ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
34		pnfxr 8072	. . . 4 |- +oo e. RR*
35		iooretopg 14696	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
36	4, 34, 35	sylancl 413	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
37		unopn 14173	. . 3 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( -oo (,) A ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( A (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
38	30, 33, 36, 37	mp3an2i 1353	. 2 |- ( A e. RR -> ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
39	29, 38	eqeltrd 2270	1 |- ( A e. RR -> { w e. RR | w # A } e. ( topGen ` ran (,) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   e. wcel 2164   {crab 2476   u. cun 3151   class class class wbr 4029   ran crn 4660   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RRcr 7871   +oocpnf 8051   -oocmnf 8052   RR*cxr 8053   < clt 8054   # cap 8600   (,)cioo 9954   topGenctg 12865   Topctop 14165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-ioo 9958  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-topgen 12871  df-top 14166  df-bases 14211

This theorem is referenced by: (None)