Theorem reopnap 14890

Description: The real numbers apart from a given real number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reopnap	|- ( A e. RR -> { w e. RR | w # A } e. ( topGen ` ran (,) ) )

Distinct variable group:   w, A

Proof of Theorem reopnap

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 2917	. . . . 5 |- ( x e. { w e. RR | w # A } -> x e. RR )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( x e. { w e. RR | w # A } -> x e. RR ) )
3		elun 3305	. . . . 5 |- ( x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) <-> ( x e. ( -oo (,) A ) \/ x e. ( A (,) +oo ) ) )
4		rexr 8091	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
5		elioomnf 10062	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( x e. ( -oo (,) A ) <-> ( x e. RR /\ x < A ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( x e. ( -oo (,) A ) <-> ( x e. RR /\ x < A ) ) )
7		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ x < A ) -> x e. RR )
8	6, 7	biimtrdi 163	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( x e. ( -oo (,) A ) -> x e. RR ) )
9		elioopnf 10061	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ A < x ) ) )
10	4, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ A < x ) ) )
11		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ A < x ) -> x e. RR )
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( x e. ( A (,) +oo ) -> x e. RR ) )
13	8, 12	jaod 718	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( x e. ( -oo (,) A ) \/ x e. ( A (,) +oo ) ) -> x e. RR ) )
14	3, 13	biimtrid 152	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) -> x e. RR ) )
15		reaplt 8634	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ A e. RR ) -> ( x # A <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
16	15	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x # A <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
17		breq1 4037	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( w # A <-> x # A ) )
18	17	elrab 2920	. . . . . . 7 |- ( x e. { w e. RR | w # A } <-> ( x e. RR /\ x # A ) )
19		ibar 301	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( x # A <-> ( x e. RR /\ x # A ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x # A <-> ( x e. RR /\ x # A ) ) )
21	18, 20	bitr4id 199	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x # A ) )
22	6	baibd 924	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( -oo (,) A ) <-> x < A ) )
23	10	baibd 924	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> A < x ) )
24	22, 23	orbi12d 794	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( x e. ( -oo (,) A ) \/ x e. ( A (,) +oo ) ) <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
25	3, 24	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
26	16, 21, 25	3bitr4d 220	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) ) )
27	26	ex 115	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( x e. RR -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) ) ) )
28	2, 14, 27	pm5.21ndd 706	. . 3 |- ( A e. RR -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) ) )
29	28	eqrdv 2194	. 2 |- ( A e. RR -> { w e. RR | w # A } = ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) )
30		retop 14868	. . 3 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
31		mnfxr 8102	. . . 4 |- -oo e. RR*
32		iooretopg 14872	. . . 4 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( -oo (,) A ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
33	31, 4, 32	sylancr 414	. . 3 |- ( A e. RR -> ( -oo (,) A ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
34		pnfxr 8098	. . . 4 |- +oo e. RR*
35		iooretopg 14872	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
36	4, 34, 35	sylancl 413	. . 3 |- ( A e. RR -> ( A (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
37		unopn 14349	. . 3 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( -oo (,) A ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( A (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
38	30, 33, 36, 37	mp3an2i 1353	. 2 |- ( A e. RR -> ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
39	29, 38	eqeltrd 2273	1 |- ( A e. RR -> { w e. RR | w # A } e. ( topGen ` ran (,) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   e. wcel 2167   {crab 2479   u. cun 3155   class class class wbr 4034   ran crn 4665   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   RRcr 7897   +oocpnf 8077   -oocmnf 8078   RR*cxr 8079   < clt 8080   # cap 8627   (,)cioo 9982   topGenctg 12958   Topctop 14341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-rp 9748  df-xneg 9866  df-ioo 9986  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-topgen 12964  df-top 14342  df-bases 14387

This theorem is referenced by: (None)