Theorem 0opn 14185

Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0opn	|- ( J e. Top -> (/) e. J )

Proof of Theorem 0opn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uni0 3863	. 2 |- U. (/) = (/)
2		0ss 3486	. . 3 |- (/) C_ J
3		uniopn 14180	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ (/) C_ J ) -> U. (/) e. J )
4	2, 3	mpan2 425	. 2 |- ( J e. Top -> U. (/) e. J )
5	1, 4	eqeltrrid 2281	1 |- ( J e. Top -> (/) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   C_ wss 3154   (/)c0 3447   U.cuni 3836   Topctop 14176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-uni 3837  df-top 14177

This theorem is referenced by:  0ntop  14186  topgele  14208  istps  14211  topontopn  14216  tgclb  14244  en1top  14256  topcld  14288  ntr0  14313  0nei  14345  restrcl  14346  rest0  14358  mopn0  14667