Theorem 0opn 12644

Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0opn	|- ( J e. Top -> (/) e. J )

Proof of Theorem 0opn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uni0 3816	. 2 |- U. (/) = (/)
2		0ss 3447	. . 3 |- (/) C_ J
3		uniopn 12639	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ (/) C_ J ) -> U. (/) e. J )
4	2, 3	mpan2 422	. 2 |- ( J e. Top -> U. (/) e. J )
5	1, 4	eqeltrrid 2254	1 |- ( J e. Top -> (/) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136   C_ wss 3116   (/)c0 3409   U.cuni 3789   Topctop 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sep 4100

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-uni 3790  df-top 12636

This theorem is referenced by:  0ntop  12645  topgele  12667  istps  12670  topontopn  12675  tgclb  12705  en1top  12717  topcld  12749  ntr0  12774  0nei  12806  restrcl  12807  rest0  12819  mopn0  13128