Theorem 0opn 12212

Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0opn	|- ( J e. Top -> (/) e. J )

Proof of Theorem 0opn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uni0 3771	. 2 |- U. (/) = (/)
2		0ss 3406	. . 3 |- (/) C_ J
3		uniopn 12207	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ (/) C_ J ) -> U. (/) e. J )
4	2, 3	mpan2 422	. 2 |- ( J e. Top -> U. (/) e. J )
5	1, 4	eqeltrrid 2228	1 |- ( J e. Top -> (/) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   C_ wss 3076   (/)c0 3368   U.cuni 3744   Topctop 12203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-uni 3745  df-top 12204

This theorem is referenced by:  0ntop  12213  topgele  12235  istps  12238  topontopn  12243  tgclb  12273  en1top  12285  topcld  12317  ntr0  12342  0nei  12374  restrcl  12375  rest0  12387  mopn0  12696