Theorem 0opn 12763

Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0opn	|- ( J e. Top -> (/) e. J )

Proof of Theorem 0opn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uni0 3821	. 2 |- U. (/) = (/)
2		0ss 3452	. . 3 |- (/) C_ J
3		uniopn 12758	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ (/) C_ J ) -> U. (/) e. J )
4	2, 3	mpan2 423	. 2 |- ( J e. Top -> U. (/) e. J )
5	1, 4	eqeltrrid 2258	1 |- ( J e. Top -> (/) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2141   C_ wss 3121   (/)c0 3414   U.cuni 3794   Topctop 12754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-sep 4105

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-uni 3795  df-top 12755

This theorem is referenced by:  0ntop  12764  topgele  12786  istps  12789  topontopn  12794  tgclb  12824  en1top  12836  topcld  12868  ntr0  12893  0nei  12925  restrcl  12926  rest0  12938  mopn0  13247