Theorem 0opn 15030

Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0opn	|- ( J e. Top -> (/) e. J )

Proof of Theorem 0opn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uni0 3957	. 2 |- U. (/) = (/)
2		0ss 3561	. . 3 |- (/) C_ J
3		uniopn 15025	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ (/) C_ J ) -> U. (/) e. J )
4	2, 3	mpan2 429	. 2 |- ( J e. Top -> U. (/) e. J )
5	1, 4	eqeltrrid 2326	1 |- ( J e. Top -> (/) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   C_ wss 3220   (/)c0 3520   U.cuni 3930   Topctop 15021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-uni 3931  df-top 15022

This theorem is referenced by:  0ntop  15031  topgele  15053  istps  15056  topontopn  15061  tgclb  15089  en1top  15101  topcld  15133  ntr0  15158  0nei  15190  restrcl  15191  rest0  15203  mopn0  15512