Theorem 0opn 14478

Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0opn	|- ( J e. Top -> (/) e. J )

Proof of Theorem 0opn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uni0 3877	. 2 |- U. (/) = (/)
2		0ss 3499	. . 3 |- (/) C_ J
3		uniopn 14473	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ (/) C_ J ) -> U. (/) e. J )
4	2, 3	mpan2 425	. 2 |- ( J e. Top -> U. (/) e. J )
5	1, 4	eqeltrrid 2293	1 |- ( J e. Top -> (/) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   C_ wss 3166   (/)c0 3460   U.cuni 3850   Topctop 14469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-sep 4162

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-uni 3851  df-top 14470

This theorem is referenced by:  0ntop  14479  topgele  14501  istps  14504  topontopn  14509  tgclb  14537  en1top  14549  topcld  14581  ntr0  14606  0nei  14638  restrcl  14639  rest0  14651  mopn0  14960