ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0opn Unicode version

Theorem 0opn 12763
Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
0opn  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)

Proof of Theorem 0opn
StepHypRef Expression
1 uni0 3821 . 2  |-  U. (/)  =  (/)
2 0ss 3452 . . 3  |-  (/)  C_  J
3 uniopn 12758 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (/)  C_  J )  ->  U. (/)  e.  J
)
42, 3mpan2 423 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  U. (/)  e.  J
)
51, 4eqeltrrid 2258 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2141    C_ wss 3121   (/)c0 3414   U.cuni 3794   Topctop 12754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-sep 4105
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-uni 3795  df-top 12755
This theorem is referenced by:  0ntop  12764  topgele  12786  istps  12789  topontopn  12794  tgclb  12824  en1top  12836  topcld  12868  ntr0  12893  0nei  12925  restrcl  12926  rest0  12938  mopn0  13247
  Copyright terms: Public domain W3C validator