Theorem unopn 13590

Description: The union of two open sets is open. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
unopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem unopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniprg 3826	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
2	1	3adant1 1015	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
3		prssi 3752	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐽)
4		uniopn 13586	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐽) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽)
5	3, 4	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽)
6	5	3impb 1199	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽)
7	2, 6	eqeltrrd 2255	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3129   ⊆ wss 3131  {cpr 3595  ∪ cuni 3811  Topctop 13582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-top 13583

This theorem is referenced by:  reopnap  14123