Theorem unopn 14982

Description: The union of two open sets is open. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
unopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem unopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniprg 3934	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
2	1	3adant1 1042	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
3		prssi 3857	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐽)
4		uniopn 14978	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐽) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽)
5	3, 4	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽)
6	5	3impb 1226	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐽)
7	2, 6	eqeltrrd 2312	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3212   ⊆ wss 3214  {cpr 3695  ∪ cuni 3919  Topctop 14974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4233

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-top 14975

This theorem is referenced by:  reopnap  15523