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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > funopg | Unicode version |
Description: A Kuratowski ordered pair is a function only if its components are equal. (Contributed by NM, 5-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) |
Ref | Expression |
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funopg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | opeq1 3652 |
. . . . 5
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2 | 1 | funeqd 5081 |
. . . 4
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3 | eqeq1 2106 |
. . . 4
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4 | 2, 3 | imbi12d 233 |
. . 3
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5 | opeq2 3653 |
. . . . 5
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6 | 5 | funeqd 5081 |
. . . 4
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7 | eqeq2 2109 |
. . . 4
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8 | 6, 7 | imbi12d 233 |
. . 3
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9 | funrel 5076 |
. . . . 5
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10 | vex 2644 |
. . . . . 6
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11 | vex 2644 |
. . . . . 6
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12 | 10, 11 | relop 4627 |
. . . . 5
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13 | 9, 12 | sylib 121 |
. . . 4
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14 | 10, 11 | opth 4097 |
. . . . . . . 8
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15 | vex 2644 |
. . . . . . . . . . . 12
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16 | 15 | opid 3670 |
. . . . . . . . . . 11
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17 | 16 | preq1i 3550 |
. . . . . . . . . 10
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18 | vex 2644 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | 15, 18 | dfop 3651 |
. . . . . . . . . . 11
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20 | 19 | preq2i 3551 |
. . . . . . . . . 10
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21 | 15 | snex 4049 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | zfpair2 4070 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 21, 22 | dfop 3651 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 17, 20, 23 | 3eqtr4ri 2131 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | eqeq2i 2110 |
. . . . . . . 8
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26 | 14, 25 | bitr3i 185 |
. . . . . . 7
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27 | dffun4 5070 |
. . . . . . . . 9
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28 | 27 | simprbi 271 |
. . . . . . . 8
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29 | 15, 15 | opex 4089 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | prid1 3576 |
. . . . . . . . . 10
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31 | eleq2 2163 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 30, 31 | mpbiri 167 |
. . . . . . . . 9
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33 | 15, 18 | opex 4089 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 33 | prid2 3577 |
. . . . . . . . . 10
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35 | eleq2 2163 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 34, 35 | mpbiri 167 |
. . . . . . . . 9
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37 | 32, 36 | jca 302 |
. . . . . . . 8
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38 | opeq12 3654 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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39 | 38 | 3adant3 969 |
. . . . . . . . . . . . 13
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40 | 39 | eleq1d 2168 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | opeq12 3654 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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42 | 41 | 3adant2 968 |
. . . . . . . . . . . . 13
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43 | 42 | eleq1d 2168 |
. . . . . . . . . . . 12
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44 | 40, 43 | anbi12d 460 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | eqeq12 2112 |
. . . . . . . . . . . 12
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46 | 45 | 3adant1 967 |
. . . . . . . . . . 11
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47 | 44, 46 | imbi12d 233 |
. . . . . . . . . 10
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48 | 47 | spc3gv 2733 |
. . . . . . . . 9
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49 | 15, 15, 18, 48 | mp3an 1283 |
. . . . . . . 8
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50 | 28, 37, 49 | syl2im 38 |
. . . . . . 7
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51 | 26, 50 | syl5bi 151 |
. . . . . 6
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52 | dfsn2 3488 |
. . . . . . . . . . 11
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53 | preq2 3548 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | 52, 53 | syl5req 2145 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 54 | eqeq2d 2111 |
. . . . . . . . 9
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56 | eqtr3 2119 |
. . . . . . . . . 10
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57 | 56 | expcom 115 |
. . . . . . . . 9
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58 | 55, 57 | syl6bi 162 |
. . . . . . . 8
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59 | 58 | com13 80 |
. . . . . . 7
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60 | 59 | imp 123 |
. . . . . 6
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61 | 51, 60 | sylcom 28 |
. . . . 5
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62 | 61 | exlimdvv 1836 |
. . . 4
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63 | 13, 62 | mpd 13 |
. . 3
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64 | 4, 8, 63 | vtocl2g 2705 |
. 2
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65 | 64 | 3impia 1146 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-sep 3986 ax-pow 4038 ax-pr 4069 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 932 df-tru 1302 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ral 2380 df-v 2643 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-br 3876 df-opab 3930 df-id 4153 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-fun 5061 |
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