ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnres GIF version

Theorem fnres 5116
Description: An equivalence for functionality of a restriction. Compare dffun8 5029. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnres ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem fnres
StepHypRef Expression
1 ancom 262 . . 3 ((∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
2 vex 2622 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
32brres 4707 . . . . . . . . 9 (𝑥(𝐹𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐹𝑦𝑥𝐴))
4 ancom 262 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐹𝑦𝑥𝐴) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐹𝑦))
53, 4bitri 182 . . . . . . . 8 (𝑥(𝐹𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐹𝑦))
65mobii 1985 . . . . . . 7 (∃*𝑦 𝑥(𝐹𝐴)𝑦 ↔ ∃*𝑦(𝑥𝐴𝑥𝐹𝑦))
7 moanimv 2023 . . . . . . 7 (∃*𝑦(𝑥𝐴𝑥𝐹𝑦) ↔ (𝑥𝐴 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
86, 7bitri 182 . . . . . 6 (∃*𝑦 𝑥(𝐹𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐴 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
98albii 1404 . . . . 5 (∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝐹𝐴)𝑦 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
10 relres 4728 . . . . . 6 Rel (𝐹𝐴)
11 dffun6 5016 . . . . . 6 (Fun (𝐹𝐴) ↔ (Rel (𝐹𝐴) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝐹𝐴)𝑦))
1210, 11mpbiran 886 . . . . 5 (Fun (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝐹𝐴)𝑦)
13 df-ral 2364 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
149, 12, 133bitr4i 210 . . . 4 (Fun (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
15 dmres 4721 . . . . . . 7 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
16 inss1 3218 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝐴
1715, 16eqsstri 3054 . . . . . 6 dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴
18 eqss 3038 . . . . . 6 (dom (𝐹𝐴) = 𝐴 ↔ (dom (𝐹𝐴) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ dom (𝐹𝐴)))
1917, 18mpbiran 886 . . . . 5 (dom (𝐹𝐴) = 𝐴𝐴 ⊆ dom (𝐹𝐴))
20 dfss3 3013 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ dom (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴))
2115elin2 3186 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ dom 𝐹))
2221baib 866 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
23 vex 2622 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
2423eldm 4621 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2522, 24syl6bb 194 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
2625ralbiia 2392 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2720, 26bitri 182 . . . . 5 (𝐴 ⊆ dom (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2819, 27bitri 182 . . . 4 (dom (𝐹𝐴) = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2914, 28anbi12i 448 . . 3 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴) ↔ (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦))
30 r19.26 2497 . . 3 (∀𝑥𝐴 (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
311, 29, 303bitr4i 210 . 2 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴 (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
32 df-fn 5005 . 2 ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ↔ (Fun (𝐹𝐴) ∧ dom (𝐹𝐴) = 𝐴))
33 eu5 1995 . . 3 (∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
3433ralbii 2384 . 2 (∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∀𝑥𝐴 (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
3531, 32, 343bitr4i 210 1 ((𝐹𝐴) Fn 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wal 1287   = wceq 1289  wex 1426  wcel 1438  ∃!weu 1948  ∃*wmo 1949  wral 2359  cin 2996  wss 2997   class class class wbr 3837  dom cdm 4428  cres 4430  Rel wrel 4433  Fun wfun 4996   Fn wfn 4997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-res 4440  df-fun 5004  df-fn 5005
This theorem is referenced by:  f1ompt  5434
  Copyright terms: Public domain W3C validator