Theorem lmres 13718

Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmres.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmres.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
lmres.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
lmres	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘𝐽)𝑃))

Proof of Theorem lmres

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmres.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		toponmax 13495	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
4		cnex 7934	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
5		ssid 3175	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
6		uzssz 9546	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
7		zsscn 9260	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstri 3164	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
9		pmss12g 6674	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
10	5, 8, 9	mpanl12 436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
11	3, 4, 10	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
12		zex 9261	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
13	12, 6	ssexi 4141	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ∈ V
14		lmres.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
15		pmresg 6675	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)))
16	13, 14, 15	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)))
17	11, 16	sseldd 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
18	17, 14	2thd 175	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)))
19		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
20	19	uztrn2 9544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21		dmres 4928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ dom 𝐹)
22	21	elin2 3323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
23	22	baib 919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
24		fvres 5539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
25	24	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
26	23, 25	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
27	20, 26	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
28	27	ralbidva 2473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
29	28	rexbiia 2492	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
30	29	imbi2i 226	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
31	30	ralbii 2483	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
32	31	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
33	18, 32	3anbi13d 1314	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
34		lmres.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
35	1, 19, 34	lmbr2 13684	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
36	1, 19, 34	lmbr2 13684	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
37	33, 35, 36	3bitr4rd 221	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘𝐽)𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  Vcvv 2737   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4003  dom cdm 4626   ↾ cres 4628  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874   ↑_pm cpm 6648  ℂcc 7808  ℤcz 9252  ℤ_≥cuz 9527  TopOnctopon 13480  ⇝_𝑡clm 13657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pm 6650  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-top 13468  df-topon 13481  df-lm 13660

This theorem is referenced by: (None)