ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmres GIF version

Theorem lmres 13751
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmres.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
lmres.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
lmres.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
Assertion
Ref Expression
lmres (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃))

Proof of Theorem lmres
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmres.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 toponmax 13528 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
31, 2syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
4 cnex 7935 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
5 ssid 3176 . . . . . . 7 𝑋 βŠ† 𝑋
6 uzssz 9547 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
7 zsscn 9261 . . . . . . . 8 β„€ βŠ† β„‚
86, 7sstri 3165 . . . . . . 7 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„‚
9 pmss12g 6675 . . . . . . 7 (((𝑋 βŠ† 𝑋 ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„‚) ∧ (𝑋 ∈ 𝐽 ∧ β„‚ ∈ V)) β†’ (𝑋 ↑pm (β„€β‰₯β€˜π‘€)) βŠ† (𝑋 ↑pm β„‚))
105, 8, 9mpanl12 436 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝑋 ↑pm (β„€β‰₯β€˜π‘€)) βŠ† (𝑋 ↑pm β„‚))
113, 4, 10sylancl 413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ↑pm (β„€β‰₯β€˜π‘€)) βŠ† (𝑋 ↑pm β„‚))
12 zex 9262 . . . . . . 7 β„€ ∈ V
1312, 6ssexi 4142 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∈ V
14 lmres.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
15 pmresg 6676 . . . . . 6 (((β„€β‰₯β€˜π‘€) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∈ (𝑋 ↑pm (β„€β‰₯β€˜π‘€)))
1613, 14, 15sylancr 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∈ (𝑋 ↑pm (β„€β‰₯β€˜π‘€)))
1711, 16sseldd 3157 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
1817, 142thd 175 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)))
19 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2019uztrn2 9545 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
21 dmres 4929 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) = ((β„€β‰₯β€˜π‘€) ∩ dom 𝐹)
2221elin2 3324 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ↔ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹))
2322baib 919 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ↔ π‘˜ ∈ dom 𝐹))
24 fvres 5540 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
2524eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
2623, 25anbi12d 473 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
2720, 26syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
2827ralbidva 2473 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
2928rexbiia 2492 . . . . . 6 (βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
3029imbi2i 226 . . . . 5 ((𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) ↔ (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
3130ralbii 2483 . . . 4 (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
3231a1i 9 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
3318, 323anbi13d 1314 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
34 lmres.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
351, 19, 34lmbr2 13717 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
361, 19, 34lmbr2 13717 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
3733, 35, 363bitr4rd 221 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘€))(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  Vcvv 2738   βŠ† wss 3130   class class class wbr 4004  dom cdm 4627   β†Ύ cres 4629  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   ↑pm cpm 6649  β„‚cc 7809  β„€cz 9253  β„€β‰₯cuz 9528  TopOnctopon 13513  β‡π‘‘clm 13690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pm 6651  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-top 13501  df-topon 13514  df-lm 13693
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator