ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmres GIF version

Theorem lmres 13408
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmres.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmres.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
lmres.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
lmres (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))(⇝𝑡𝐽)𝑃))

Proof of Theorem lmres
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmres.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 toponmax 13183 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
31, 2syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐽)
4 cnex 7923 . . . . . 6 ℂ ∈ V
5 ssid 3175 . . . . . . 7 𝑋𝑋
6 uzssz 9533 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
7 zsscn 9247 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℂ
86, 7sstri 3164 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
9 pmss12g 6669 . . . . . . 7 (((𝑋𝑋 ∧ (ℤ𝑀) ⊆ ℂ) ∧ (𝑋𝐽 ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋pm (ℤ𝑀)) ⊆ (𝑋pm ℂ))
105, 8, 9mpanl12 436 . . . . . 6 ((𝑋𝐽 ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋pm (ℤ𝑀)) ⊆ (𝑋pm ℂ))
113, 4, 10sylancl 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋pm (ℤ𝑀)) ⊆ (𝑋pm ℂ))
12 zex 9248 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
1312, 6ssexi 4138 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ∈ V
14 lmres.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
15 pmresg 6670 . . . . . 6 (((ℤ𝑀) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm (ℤ𝑀)))
1613, 14, 15sylancr 414 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm (ℤ𝑀)))
1711, 16sseldd 3156 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ))
1817, 142thd 175 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)))
19 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2019uztrn2 9531 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
21 dmres 4924 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) = ((ℤ𝑀) ∩ dom 𝐹)
2221elin2 3323 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
2322baib 919 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
24 fvres 5535 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
2524eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
2623, 25anbi12d 473 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2720, 26syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2827ralbidva 2473 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2928rexbiia 2492 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
3029imbi2i 226 . . . . 5 ((𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
3130ralbii 2483 . . . 4 (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
3231a1i 9 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
3318, 323anbi13d 1314 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
34 lmres.5 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
351, 19, 34lmbr2 13374 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
361, 19, 34lmbr2 13374 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
3733, 35, 363bitr4rd 221 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))(⇝𝑡𝐽)𝑃))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  Vcvv 2737  wss 3129   class class class wbr 4000  dom cdm 4623  cres 4625  cfv 5212  (class class class)co 5869  pm cpm 6643  cc 7797  cz 9239  cuz 9514  TopOnctopon 13168  𝑡clm 13347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pm 6645  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-top 13156  df-topon 13169  df-lm 13350
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator