Theorem lmres 12888

Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmres.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmres.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
lmres.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
lmres	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘𝐽)𝑃))

Proof of Theorem lmres

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmres.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		toponmax 12663	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
3	1, 2	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
4		cnex 7877	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
5		ssid 3162	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
6		uzssz 9485	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
7		zsscn 9199	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstri 3151	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
9		pmss12g 6641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
10	5, 8, 9	mpanl12 433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
11	3, 4, 10	sylancl 410	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
12		zex 9200	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
13	12, 6	ssexi 4120	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ∈ V
14		lmres.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
15		pmresg 6642	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)))
16	13, 14, 15	sylancr 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm (ℤ≥‘𝑀)))
17	11, 16	sseldd 3143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
18	17, 14	2thd 174	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)))
19		eqid 2165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
20	19	uztrn2 9483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21		dmres 4905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ dom 𝐹)
22	21	elin2 3310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
23	22	baib 909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
24		fvres 5510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
25	24	eleq1d 2235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
26	23, 25	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
27	20, 26	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
28	27	ralbidva 2462	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
29	28	rexbiia 2481	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))
30	29	imbi2i 225	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
31	30	ralbii 2472	. . . 4 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
32	31	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
33	18, 32	3anbi13d 1304	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
34		lmres.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
35	1, 19, 34	lmbr2 12854	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
36	1, 19, 34	lmbr2 12854	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
37	33, 35, 36	3bitr4rd 220	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘𝐽)𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445  Vcvv 2726   ⊆ wss 3116   class class class wbr 3982  dom cdm 4604   ↾ cres 4606  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842   ↑_pm cpm 6615  ℂcc 7751  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466  TopOnctopon 12648  ⇝_𝑡clm 12827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pm 6617  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-top 12636  df-topon 12649  df-lm 12830

This theorem is referenced by: (None)