ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funfvima GIF version

Theorem funfvima 5764
Description: A function's value in a preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 23-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
funfvima ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funfvima
StepHypRef Expression
1 dmres 4943 . . . . . . 7 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
21elin2 3338 . . . . . 6 (𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹))
3 funres 5272 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
4 fvelrn 5663 . . . . . . . . 9 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴))
53, 4sylan 283 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴))
6 df-ima 4654 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
76eleq2i 2256 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴))
8 fvres 5554 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐴 → ((𝐹𝐴)‘𝐵) = (𝐹𝐵))
98eleq1d 2258 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 → (((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴)))
107, 9bitr4id 199 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴) ↔ ((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴)))
115, 10syl5ibrcom 157 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴)) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
1211ex 115 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
132, 12biimtrrid 153 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
1413expd 258 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))))
1514com12 30 . . 3 (𝐵𝐴 → (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))))
1615impd 254 . 2 (𝐵𝐴 → ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
1716pm2.43b 52 1 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2160  dom cdm 4641  ran crn 4642  cres 4643  cima 4644  Fun wfun 5225  cfv 5231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-fv 5239
This theorem is referenced by:  funfvima2  5765  fiintim  6946  caseinl  7109  caseinr  7110  ctssdccl  7129  suplocexprlemdisj  7738  suplocexprlemub  7741  ennnfonelemex  12439  ctinfomlemom  12452  txcnp  14174
  Copyright terms: Public domain W3C validator