Theorem funfvima 5649

Description: A function's value in a preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 23-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
funfvima	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))

Proof of Theorem funfvima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4840	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
2	1	elin2 3264	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹))
3		funres 5164	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝐹 → Fun (𝐹 ↾ 𝐴))
4		fvelrn 5551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun (𝐹 ↾ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴)) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹 ↾ 𝐴))
5	3, 4	sylan 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴)) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹 ↾ 𝐴))
6		fvres 5445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
7	6	eleq1d 2208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹 ↾ 𝐴) ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ran (𝐹 ↾ 𝐴)))
8		df-ima 4552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
9	8	eleq2i 2206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴) ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ran (𝐹 ↾ 𝐴))
10	7, 9	syl6rbbr 198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹 ↾ 𝐴)))
11	5, 10	syl5ibrcom 156	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴)) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))
12	11	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴))))
13	2, 12	syl5bir 152	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴))))
14	13	expd 256	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))))
15	14	com12 30	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))))
16	15	impd 252	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴))))
17	16	pm2.43b 52	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  dom cdm 4539  ran crn 4540   ↾ cres 4541   “ cima 4542  Fun wfun 5117  ‘cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  funfvima2  5650  fiintim  6817  caseinl  6976  caseinr  6977  ctssdccl  6996  suplocexprlemdisj  7528  suplocexprlemub  7531  ennnfonelemex  11927  ctinfomlemom  11940  txcnp  12440