ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funfvima GIF version

Theorem funfvima 5742
Description: A function's value in a preimage belongs to the image. (Contributed by NM, 23-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
funfvima ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))

Proof of Theorem funfvima
StepHypRef Expression
1 dmres 4923 . . . . . . 7 dom (𝐹𝐴) = (𝐴 ∩ dom 𝐹)
21elin2 3323 . . . . . 6 (𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹))
3 funres 5252 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐴))
4 fvelrn 5642 . . . . . . . . 9 ((Fun (𝐹𝐴) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴))
53, 4sylan 283 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴))
6 df-ima 4635 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
76eleq2i 2244 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴))
8 fvres 5534 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐴 → ((𝐹𝐴)‘𝐵) = (𝐹𝐵))
98eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 → (((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴)))
107, 9bitr4id 199 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴) ↔ ((𝐹𝐴)‘𝐵) ∈ ran (𝐹𝐴)))
115, 10syl5ibrcom 157 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴)) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
1211ex 115 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom (𝐹𝐴) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
132, 12biimtrrid 153 . . . . 5 (Fun 𝐹 → ((𝐵𝐴𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
1413expd 258 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))))
1514com12 30 . . 3 (𝐵𝐴 → (Fun 𝐹 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))))
1615impd 254 . 2 (𝐵𝐴 → ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴))))
1716pm2.43b 52 1 ((Fun 𝐹𝐵 ∈ dom 𝐹) → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2148  dom cdm 4622  ran crn 4623  cres 4624  cima 4625  Fun wfun 5205  cfv 5211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-fv 5219
This theorem is referenced by:  funfvima2  5743  fiintim  6921  caseinl  7083  caseinr  7084  ctssdccl  7103  suplocexprlemdisj  7697  suplocexprlemub  7700  ennnfonelemex  12385  ctinfomlemom  12398  txcnp  13404
  Copyright terms: Public domain W3C validator