Theorem elin 3412

Description: Expansion of membership in an intersection of two classes. Theorem 12 of [Suppes] p. 25. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elin	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem elin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
4		eleq1 2301	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
5		eleq1 2301	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
6	4, 5	anbi12d 477	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶)))
7		df-in 3226	. . 3 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)}
8	6, 7	elab2g 2973	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶)))
9	1, 3, 8	pm5.21nii 716	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∩ cin 3219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226

This theorem is used by:  elini  3413  elind  3414  elinel1  3415  elinel2  3416  elin2  3417  elin3  3420  incom  3421  ineqri  3424  ineq1  3425  inass  3441  inss1  3451  ssin  3453  ssrin  3456  dfss4st  3464  inssdif  3467  difin  3468  unssin  3470  inssun  3471  invdif  3473  indif  3474  indi  3478  undi  3479  difundi  3483  difindiss  3485  indifdir  3487  difin2  3493  inrab2  3506  inelcm  3585  inssdif0imOLD  3593  uniin  3955  intun  4001  intpr  4002  elrint  4010  iunin2  4076  iinin2m  4081  elriin  4083  disjnim  4120  disjiun  4125  brin  4183  trin  4239  inex1  4267  inuni  4291  bnd2  4310  ordpwsucss  4714  ordpwsucexmid  4717  peano5  4745  inopab  4912  inxp  4914  dmin  4989  opelres  5068  intasym  5172  asymref  5173  dminss  5202  imainss  5203  inimasn  5205  ssrnres  5230  cnvresima  5277  dfco2a  5288  funinsn  5430  imainlem  5462  imain  5463  2elresin  5494  nfvres  5732  respreima  5836  isoini  6024  offval  6310  tfrlem5  6585  mapval2  6959  ixpin  7005  ssenen  7152  infidc  7248  fnfi  7250  elfpw  7262  peano5nnnn  8260  peano5nni  9310  ixxdisj  10316  icodisj  10405  fzdisj  10468  uzdisj  10511  nn0disj  10556  fzouzdisj  10600  sseqn  11295  hashfibclem  11298  isumss  12177  fsumsplit  12193  sumsplitdc  12218  fsum2dlemstep  12220  fprod2dlemstep  12408  bitsmod  12742  bitsinv1  12748  4sqlem12  13204  ballotfilem2  13280  ballotfilemth  13333  nninfdclemcl  13391  nninfdclemp1  13393  insubm  13845  resscntz  14160  isrhm  14549  subsubrng2  14607  subsubrg2  14638  2idlelb  14926  isassa  15086  aspid  15101  isbasis2g  15237  tgval2  15243  tgcl  15256  epttop  15282  ssntr  15314  ntreq0  15324  cnptopresti  15430  cnptoprest  15431  cnptoprest2  15432  lmss  15438  txcnp  15463  txcnmpt  15465  bldisj  15593  blininf  15616  blres  15626  metrest  15698  pilem1  15972  ppiqsval2  16202  ppiqfi  16203  ppiprm  16220  chtprm  16222  chtdif  16225  efchtqdvds  16226  ppidif  16230  prmorcht  16243  ppiqub  16254  wlk1walkdom  16766  trlsegvdegfi  16874  bj-charfundcALT  17001  bj-charfunr  17002  bdinex1  17091  bj-indind  17124