Theorem elin 3254

Description: Expansion of membership in an intersection of two classes. Theorem 12 of [Suppes] p. 25. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elin	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem elin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
4		eleq1 2200	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
5		eleq1 2200	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
6	4, 5	anbi12d 464	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶)))
7		df-in 3072	. . 3 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)}
8	6, 7	elab2g 2826	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶)))
9	1, 3, 8	pm5.21nii 693	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681   ∩ cin 3065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-in 3072

This theorem is referenced by:  elini  3255  elind  3256  elinel1  3257  elinel2  3258  elin2  3259  elin3  3262  incom  3263  ineqri  3264  ineq1  3265  inass  3281  inss1  3291  ssin  3293  ssrin  3296  dfss4st  3304  inssdif  3307  difin  3308  unssin  3310  inssun  3311  invdif  3313  indif  3314  indi  3318  undi  3319  difundi  3323  difindiss  3325  indifdir  3327  difin2  3333  inrab2  3344  inelcm  3418  inssdif0im  3425  uniin  3751  intun  3797  intpr  3798  elrint  3806  iunin2  3871  iinin2m  3876  elriin  3878  disjnim  3915  disjiun  3919  brin  3975  trin  4031  inex1  4057  inuni  4075  bnd2  4092  ordpwsucss  4477  ordpwsucexmid  4480  peano5  4507  inopab  4666  inxp  4668  dmin  4742  opelres  4819  intasym  4918  asymref  4919  dminss  4948  imainss  4949  inimasn  4951  ssrnres  4976  cnvresima  5023  dfco2a  5034  funinsn  5167  imainlem  5199  imain  5200  2elresin  5229  nfvres  5447  respreima  5541  isoini  5712  offval  5982  tfrlem5  6204  mapval2  6565  ixpin  6610  ssenen  6738  fnfi  6818  peano5nnnn  7693  peano5nni  8716  ixxdisj  9679  icodisj  9768  fzdisj  9825  uzdisj  9866  nn0disj  9908  fzouzdisj  9950  isumss  11153  fsumsplit  11169  sumsplitdc  11194  fsum2dlemstep  11196  isbasis2g  12201  tgval2  12209  tgcl  12222  epttop  12248  ssntr  12280  ntreq0  12290  cnptopresti  12396  cnptoprest  12397  cnptoprest2  12398  lmss  12404  txcnp  12429  txcnmpt  12431  bldisj  12559  blininf  12582  blres  12592  metrest  12664  pilem1  12849  bdinex1  13086  bj-indind  13119