Theorem elin 3412

Description: Expansion of membership in an intersection of two classes. Theorem 12 of [Suppes] p. 25. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elin	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem elin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
4		eleq1 2301	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
5		eleq1 2301	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
6	4, 5	anbi12d 477	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶)))
7		df-in 3226	. . 3 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)}
8	6, 7	elab2g 2973	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶)))
9	1, 3, 8	pm5.21nii 716	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∩ cin 3219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226

This theorem is used by:  elini  3413  elind  3414  elinel1  3415  elinel2  3416  elin2  3417  elin3  3420  incom  3421  ineqri  3424  ineq1  3425  inass  3441  inss1  3451  ssin  3453  ssrin  3456  dfss4st  3464  inssdif  3467  difin  3468  unssin  3470  inssun  3471  invdif  3473  indif  3474  indi  3478  undi  3479  difundi  3483  difindiss  3485  indifdir  3487  difin2  3493  inrab2  3506  inelcm  3585  inssdif0imOLD  3593  uniin  3955  intun  4001  intpr  4002  elrint  4010  iunin2  4076  iinin2m  4081  elriin  4083  disjnim  4120  disjiun  4125  brin  4183  trin  4239  inex1  4267  inuni  4291  bnd2  4310  ordpwsucss  4714  ordpwsucexmid  4717  peano5  4745  inopab  4912  inxp  4914  dmin  4989  opelres  5068  intasym  5172  asymref  5173  dminss  5202  imainss  5203  inimasn  5205  ssrnres  5230  cnvresima  5277  dfco2a  5288  funinsn  5430  imainlem  5462  imain  5463  2elresin  5494  nfvres  5732  respreima  5836  isoini  6024  offval  6310  tfrlem5  6585  mapval2  6959  ixpin  7005  ssenen  7152  infidc  7248  fnfi  7250  elfpw  7262  peano5nnnn  8260  peano5nni  9310  ixxdisj  10316  icodisj  10405  fzdisj  10468  uzdisj  10511  nn0disj  10556  fzouzdisj  10600  sseqn  11294  hashfibclem  11297  isumss  12176  fsumsplit  12192  sumsplitdc  12217  fsum2dlemstep  12219  fprod2dlemstep  12407  bitsmod  12741  bitsinv1  12747  4sqlem12  13203  ballotfilem2  13279  ballotfilemth  13332  nninfdclemcl  13390  nninfdclemp1  13392  insubm  13843  isrhm  14516  subsubrng2  14574  subsubrg2  14605  2idlelb  14893  isassa  15053  aspid  15068  isbasis2g  15198  tgval2  15204  tgcl  15217  epttop  15243  ssntr  15275  ntreq0  15285  cnptopresti  15391  cnptoprest  15392  cnptoprest2  15393  lmss  15399  txcnp  15424  txcnmpt  15426  bldisj  15554  blininf  15577  blres  15587  metrest  15659  pilem1  15933  ppiqsval2  16163  ppiqfi  16164  ppiprm  16181  chtprm  16183  chtdif  16186  efchtqdvds  16187  ppidif  16191  prmorcht  16204  ppiqub  16215  wlk1walkdom  16722  trlsegvdegfi  16830  bj-charfundcALT  16957  bj-charfunr  16958  bdinex1  17047  bj-indind  17080