Theorem elin 3319

Description: Expansion of membership in an intersection of two classes. Theorem 12 of [Suppes] p. 25. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elin	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem elin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2749	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2749	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
3	2	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
4		eleq1 2240	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
5		eleq1 2240	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
6	4, 5	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶)))
7		df-in 3136	. . 3 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐶) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)}
8	6, 7	elab2g 2885	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶)))
9	1, 3, 8	pm5.21nii 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2738   ∩ cin 3129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2740  df-in 3136

This theorem is referenced by:  elini  3320  elind  3321  elinel1  3322  elinel2  3323  elin2  3324  elin3  3327  incom  3328  ineqri  3329  ineq1  3330  inass  3346  inss1  3356  ssin  3358  ssrin  3361  dfss4st  3369  inssdif  3372  difin  3373  unssin  3375  inssun  3376  invdif  3378  indif  3379  indi  3383  undi  3384  difundi  3388  difindiss  3390  indifdir  3392  difin2  3398  inrab2  3409  inelcm  3484  inssdif0im  3491  uniin  3830  intun  3876  intpr  3877  elrint  3885  iunin2  3951  iinin2m  3956  elriin  3958  disjnim  3995  disjiun  3999  brin  4056  trin  4112  inex1  4138  inuni  4156  bnd2  4174  ordpwsucss  4567  ordpwsucexmid  4570  peano5  4598  inopab  4760  inxp  4762  dmin  4836  opelres  4913  intasym  5014  asymref  5015  dminss  5044  imainss  5045  inimasn  5047  ssrnres  5072  cnvresima  5119  dfco2a  5130  funinsn  5266  imainlem  5298  imain  5299  2elresin  5328  nfvres  5549  respreima  5645  isoini  5819  offval  6090  tfrlem5  6315  mapval2  6678  ixpin  6723  ssenen  6851  fnfi  6936  peano5nnnn  7891  peano5nni  8922  ixxdisj  9903  icodisj  9992  fzdisj  10052  uzdisj  10093  nn0disj  10138  fzouzdisj  10180  isumss  11399  fsumsplit  11415  sumsplitdc  11440  fsum2dlemstep  11442  fprod2dlemstep  11630  nninfdclemcl  12449  nninfdclemp1  12451  insubm  12872  subsubrg2  13367  isbasis2g  13548  tgval2  13554  tgcl  13567  epttop  13593  ssntr  13625  ntreq0  13635  cnptopresti  13741  cnptoprest  13742  cnptoprest2  13743  lmss  13749  txcnp  13774  txcnmpt  13776  bldisj  13904  blininf  13927  blres  13937  metrest  14009  pilem1  14203  bj-charfundcALT  14564  bj-charfunr  14565  bdinex1  14654  bj-indind  14687