Theorem ifnetruedc 3602

Description: Deduce truth from a conditional operator value. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ifnetruedc	⊢ ((DECID 𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) → 𝜑)

Proof of Theorem ifnetruedc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. 2 ⊢ ((DECID 𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) → DECID 𝜑)
2		iffalse 3569	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
3	2	adantl 277	. . 3 ⊢ (((DECID 𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
4		simpl3 1004	. . . . 5 ⊢ (((DECID 𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
5		simpl2 1003	. . . . 5 ⊢ (((DECID 𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐴 ≠ 𝐵)
6	4, 5	eqnetrd 2391	. . . 4 ⊢ (((DECID 𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≠ 𝐵)
7	6	neneqd 2388	. . 3 ⊢ (((DECID 𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
8	3, 7	condandc 882	. 2 ⊢ (DECID 𝜑 → ((DECID 𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) → 𝜑))
9	1, 8	mpcom 36	1 ⊢ ((DECID 𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) → 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ≠ wne 2367  ifcif 3561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-ne 2368  df-if 3562

This theorem is referenced by:  ifnebibdc  3604