Theorem ifnebibdc 3600

Description: The converse of ifbi 3577 holds if the two values are not equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ifnebibdc	⊢ ((DECID 𝜑 ∧ DECID 𝜓 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))

Proof of Theorem ifnebibdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqifdc 3592	. . . 4 ⊢ (DECID 𝜓 → (if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝜓 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) ∨ (¬ 𝜓 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵))))
2	1	3ad2ant2 1021	. . 3 ⊢ ((DECID 𝜑 ∧ DECID 𝜓 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ↔ ((𝜓 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) ∨ (¬ 𝜓 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵))))
3		ifnetruedc 3598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((DECID 𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) → 𝜑)
4	3	3expia 1207	. . . . . . . 8 ⊢ ((DECID 𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴 → 𝜑))
5	4	3adant2 1018	. . . . . . 7 ⊢ ((DECID 𝜑 ∧ DECID 𝜓 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴 → 𝜑))
6	5	adantld 278	. . . . . 6 ⊢ ((DECID 𝜑 ∧ DECID 𝜓 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝜓 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) → 𝜑))
7		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) → 𝜓)
8	6, 7	jca2 308	. . . . 5 ⊢ ((DECID 𝜑 ∧ DECID 𝜓 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝜓 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) → (𝜑 ∧ 𝜓)))
9		pm5.1 601	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝜑 ↔ 𝜓))
10	8, 9	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((DECID 𝜑 ∧ DECID 𝜓 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝜓 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) → (𝜑 ↔ 𝜓)))
11		ifnefals 3599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵) → ¬ 𝜑)
12	11	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵 → ¬ 𝜑))
13	12	3ad2ant3 1022	. . . . . . 7 ⊢ ((DECID 𝜑 ∧ DECID 𝜓 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵 → ¬ 𝜑))
14	13	adantld 278	. . . . . 6 ⊢ ((DECID 𝜑 ∧ DECID 𝜓 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((¬ 𝜓 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵) → ¬ 𝜑))
15		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝜓 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵) → ¬ 𝜓)
16	14, 15	jca2 308	. . . . 5 ⊢ ((DECID 𝜑 ∧ DECID 𝜓 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((¬ 𝜓 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵) → (¬ 𝜑 ∧ ¬ 𝜓)))
17		pm5.21 696	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝜑 ∧ ¬ 𝜓) → (𝜑 ↔ 𝜓))
18	16, 17	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((DECID 𝜑 ∧ DECID 𝜓 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((¬ 𝜓 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵) → (𝜑 ↔ 𝜓)))
19	10, 18	jaod 718	. . 3 ⊢ ((DECID 𝜑 ∧ DECID 𝜓 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝜓 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴) ∨ (¬ 𝜓 ∧ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)) → (𝜑 ↔ 𝜓)))
20	2, 19	sylbid 150	. 2 ⊢ ((DECID 𝜑 ∧ DECID 𝜓 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝜑 ↔ 𝜓)))
21		ifbi 3577	. 2 ⊢ ((𝜑 ↔ 𝜓) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
22	20, 21	impbid1 142	1 ⊢ ((DECID 𝜑 ∧ DECID 𝜓 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) ↔ (𝜑 ↔ 𝜓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ≠ wne 2364  ifcif 3557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-ne 2365  df-if 3558

This theorem is referenced by:  nninfinf  10514