Theorem iffalse 3533

Description: Value of the conditional operator when its first argument is false. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
iffalse	⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem iffalse

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3526	. 2 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))}
2		dedlemb 965	. . 3 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))))
3	2	abbi2dv 2289	. 2 ⊢ (¬ 𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))})
4	1, 3	eqtr4id 2222	1 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {cab 2156  ifcif 3525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-11 1499  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-if 3526

This theorem is referenced by:  iffalsei  3534  iffalsed  3535  ifnefalse  3536  ifsbdc  3537  ifcldadc  3554  ifeq1dadc  3555  ifbothdadc  3556  ifbothdc  3557  ifiddc  3558  ifcldcd  3560  ifnotdc  3561  ifandc  3562  fidifsnen  6844  nnnninf  7098  uzin  9506  modifeq2int  10329  bcval  10670  bcval3  10672  sumrbdclem  11327  fsum3cvg  11328  summodclem2a  11331  sumsplitdc  11382  prodrbdclem  11521  fproddccvg  11522  prodssdc  11539  flodddiv4  11880  gcdn0val  11903  dfgcd2  11956  lcmn0val  12007  pcgcd  12269  pcmptcl  12281  pcmpt  12282  pcmpt2  12283  pcprod  12285  fldivp1  12287  unct  12384  lgsneg  13678  lgsdilem  13681  lgsdir2  13687  lgsdir  13689  lgsdi  13691  lgsne0  13692