Theorem iffalse 3581

Description: Value of the conditional operator when its first argument is false. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
iffalse	⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem iffalse

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3574	. 2 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))}
2		dedlemb 973	. . 3 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))))
3	2	abbi2dv 2325	. 2 ⊢ (¬ 𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))})
4	1, 3	eqtr4id 2258	1 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {cab 2192  ifcif 3573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-11 1530  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-if 3574

This theorem is referenced by:  iffalsei  3582  iffalsed  3583  ifnefalse  3584  ifsbdc  3585  ifcldadc  3602  ifeq1dadc  3603  ifeqdadc  3605  ifbothdadc  3606  ifbothdc  3607  ifiddc  3608  ifcldcd  3610  ifnotdc  3611  ifandc  3612  ifordc  3613  ifnetruedc  3615  pw2f1odclem  6943  fidifsnen  6979  nnnninf  7240  uzin  9694  modifeq2int  10544  seqf1oglem1  10677  seqf1oglem2  10678  bcval  10907  bcval3  10909  sumrbdclem  11738  fsum3cvg  11739  summodclem2a  11742  sumsplitdc  11793  prodrbdclem  11932  fproddccvg  11933  prodssdc  11950  flodddiv4  12297  gcdn0val  12332  dfgcd2  12385  lcmn0val  12438  pcgcd  12702  pcmptcl  12715  pcmpt  12716  pcmpt2  12717  pcprod  12719  fldivp1  12721  unct  12863  lgsneg  15551  lgsdilem  15554  lgsdir2  15560  lgsdir  15562  lgsdi  15564  lgsne0  15565  gausslemma2dlem1a  15585  2lgslem1c  15617  2lgs  15631