Theorem iffalse 3648

Description: Value of the conditional operator when its first argument is false. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
iffalse	⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem iffalse

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3639	. 2 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))}
2		dedlemb 983	. . 3 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))))
3	2	abbi2dv 2359	. 2 ⊢ (¬ 𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))})
4	1, 3	eqtr4id 2290	1 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ifcif 3638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-if 3639

This theorem is referenced by:  iffalsei  3649  iffalsed  3650  ifnefalse  3651  ifsbdc  3653  ifcldadc  3670  ifeq1dadc  3671  ifeqdadc  3673  ifbothdadc  3674  ifbothdc  3675  ifiddc  3676  ifcldcd  3678  ifnotdc  3679  2if2dc  3680  ifandc  3681  ifordc  3682  ifnetruedc  3684  pw2f1odclem  7128  fidifsnen  7166  nnnninf  7460  uzin  9938  modifeq2int  10806  seqf1oglem1  10939  seqf1oglem2  10940  bcval  11170  bcval3  11172  swrdccat  11490  pfxccat3a  11493  swrdccat3b  11495  sumrbdclem  12127  fsum3cvg  12128  summodclem2a  12131  sumsplitdc  12182  prodrbdclem  12321  fproddccvg  12322  prodssdc  12339  flodddiv4  12686  gcdn0val  12721  dfgcd2  12774  lcmn0val  12827  pcgcd  13091  pcmptcl  13104  pcmpt  13105  pcmpt2  13106  pcprod  13108  fldivp1  13110  unct  13316  lgsneg  16126  lgsdilem  16129  lgsdir2  16135  lgsdir  16137  lgsdi  16139  lgsne0  16140  gausslemma2dlem1a  16160  2lgslem1c  16192  2lgs  16206