Theorem iffalse 3613

Description: Value of the conditional operator when its first argument is false. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
iffalse	⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem iffalse

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3606	. 2 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))}
2		dedlemb 978	. . 3 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))))
3	2	abbi2dv 2350	. 2 ⊢ (¬ 𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))})
4	1, 3	eqtr4id 2283	1 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {cab 2217  ifcif 3605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-if 3606

This theorem is referenced by:  iffalsei  3614  iffalsed  3615  ifnefalse  3616  ifsbdc  3618  ifcldadc  3635  ifeq1dadc  3636  ifeqdadc  3638  ifbothdadc  3639  ifbothdc  3640  ifiddc  3641  ifcldcd  3643  ifnotdc  3644  2if2dc  3645  ifandc  3646  ifordc  3647  ifnetruedc  3649  pw2f1odclem  7020  fidifsnen  7057  nnnninf  7325  uzin  9789  modifeq2int  10649  seqf1oglem1  10782  seqf1oglem2  10783  bcval  11012  bcval3  11014  swrdccat  11317  pfxccat3a  11320  swrdccat3b  11322  sumrbdclem  11940  fsum3cvg  11941  summodclem2a  11944  sumsplitdc  11995  prodrbdclem  12134  fproddccvg  12135  prodssdc  12152  flodddiv4  12499  gcdn0val  12534  dfgcd2  12587  lcmn0val  12640  pcgcd  12904  pcmptcl  12917  pcmpt  12918  pcmpt2  12919  pcprod  12921  fldivp1  12923  unct  13065  lgsneg  15756  lgsdilem  15759  lgsdir2  15765  lgsdir  15767  lgsdi  15769  lgsne0  15770  gausslemma2dlem1a  15790  2lgslem1c  15822  2lgs  15836