Theorem iffalse 3617

Description: Value of the conditional operator when its first argument is false. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
iffalse	⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem iffalse

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3608	. 2 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))}
2		dedlemb 979	. . 3 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))))
3	2	abbi2dv 2351	. 2 ⊢ (¬ 𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))})
4	1, 3	eqtr4id 2283	1 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {cab 2217  ifcif 3607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-if 3608

This theorem is referenced by:  iffalsei  3618  iffalsed  3619  ifnefalse  3620  ifsbdc  3622  ifcldadc  3639  ifeq1dadc  3640  ifeqdadc  3642  ifbothdadc  3643  ifbothdc  3644  ifiddc  3645  ifcldcd  3647  ifnotdc  3648  2if2dc  3649  ifandc  3650  ifordc  3651  ifnetruedc  3653  pw2f1odclem  7063  fidifsnen  7100  nnnninf  7368  uzin  9832  modifeq2int  10692  seqf1oglem1  10825  seqf1oglem2  10826  bcval  11055  bcval3  11057  swrdccat  11363  pfxccat3a  11366  swrdccat3b  11368  sumrbdclem  11999  fsum3cvg  12000  summodclem2a  12003  sumsplitdc  12054  prodrbdclem  12193  fproddccvg  12194  prodssdc  12211  flodddiv4  12558  gcdn0val  12593  dfgcd2  12646  lcmn0val  12699  pcgcd  12963  pcmptcl  12976  pcmpt  12977  pcmpt2  12978  pcprod  12980  fldivp1  12982  unct  13124  lgsneg  15823  lgsdilem  15826  lgsdir2  15832  lgsdir  15834  lgsdi  15836  lgsne0  15837  gausslemma2dlem1a  15857  2lgslem1c  15889  2lgs  15903