Theorem iffalse 3613

Description: Value of the conditional operator when its first argument is false. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
iffalse	⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem iffalse

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3606	. 2 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))}
2		dedlemb 978	. . 3 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))))
3	2	abbi2dv 2350	. 2 ⊢ (¬ 𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))})
4	1, 3	eqtr4id 2283	1 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {cab 2217  ifcif 3605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-if 3606

This theorem is referenced by:  iffalsei  3614  iffalsed  3615  ifnefalse  3616  ifsbdc  3618  ifcldadc  3635  ifeq1dadc  3636  ifeqdadc  3638  ifbothdadc  3639  ifbothdc  3640  ifiddc  3641  ifcldcd  3643  ifnotdc  3644  2if2dc  3645  ifandc  3646  ifordc  3647  ifnetruedc  3649  pw2f1odclem  7020  fidifsnen  7057  nnnninf  7325  uzin  9789  modifeq2int  10649  seqf1oglem1  10782  seqf1oglem2  10783  bcval  11012  bcval3  11014  swrdccat  11320  pfxccat3a  11323  swrdccat3b  11325  sumrbdclem  11943  fsum3cvg  11944  summodclem2a  11947  sumsplitdc  11998  prodrbdclem  12137  fproddccvg  12138  prodssdc  12155  flodddiv4  12502  gcdn0val  12537  dfgcd2  12590  lcmn0val  12643  pcgcd  12907  pcmptcl  12920  pcmpt  12921  pcmpt2  12922  pcprod  12924  fldivp1  12926  unct  13068  lgsneg  15759  lgsdilem  15762  lgsdir2  15768  lgsdir  15770  lgsdi  15772  lgsne0  15773  gausslemma2dlem1a  15793  2lgslem1c  15825  2lgs  15839