Theorem iffalse 3610

Description: Value of the conditional operator when its first argument is false. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
iffalse	⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem iffalse

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-if 3603	. 2 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))}
2		dedlemb 976	. . 3 ⊢ (¬ 𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))))
3	2	abbi2dv 2348	. 2 ⊢ (¬ 𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜑))})
4	1, 3	eqtr4id 2281	1 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ifcif 3602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-if 3603

This theorem is referenced by:  iffalsei  3611  iffalsed  3612  ifnefalse  3613  ifsbdc  3615  ifcldadc  3632  ifeq1dadc  3633  ifeqdadc  3635  ifbothdadc  3636  ifbothdc  3637  ifiddc  3638  ifcldcd  3640  ifnotdc  3641  2if2dc  3642  ifandc  3643  ifordc  3644  ifnetruedc  3646  pw2f1odclem  7008  fidifsnen  7045  nnnninf  7309  uzin  9772  modifeq2int  10625  seqf1oglem1  10758  seqf1oglem2  10759  bcval  10988  bcval3  10990  swrdccat  11288  pfxccat3a  11291  swrdccat3b  11293  sumrbdclem  11909  fsum3cvg  11910  summodclem2a  11913  sumsplitdc  11964  prodrbdclem  12103  fproddccvg  12104  prodssdc  12121  flodddiv4  12468  gcdn0val  12503  dfgcd2  12556  lcmn0val  12609  pcgcd  12873  pcmptcl  12886  pcmpt  12887  pcmpt2  12888  pcprod  12890  fldivp1  12892  unct  13034  lgsneg  15724  lgsdilem  15727  lgsdir2  15733  lgsdir  15735  lgsdi  15737  lgsne0  15738  gausslemma2dlem1a  15758  2lgslem1c  15790  2lgs  15804