Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dfcleq 2731 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 = 𝐶 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐶)) |
2 | 1 | sbcth 3694 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴 / 𝑥](𝐵 = 𝐶 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐶))) |
3 | | sbcbig 3730 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥](𝐵 = 𝐶 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐶)) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝐵 = 𝐶 ↔ [𝐴 / 𝑥]∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐶)))) |
4 | 2, 3 | mpbid 235 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥]𝐵 = 𝐶 ↔ [𝐴 / 𝑥]∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐶))) |
5 | | sbcal 3740 |
. . . 4
⊢
([𝐴 / 𝑥]∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥](𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐶)) |
6 | 4, 5 | bitrdi 290 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥]𝐵 = 𝐶 ↔ ∀𝑦[𝐴 / 𝑥](𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐶))) |
7 | | sbcbig 3730 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥](𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐵 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶))) |
8 | 7 | albidv 1926 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑦[𝐴 / 𝑥](𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ ∀𝑦([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐵 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶))) |
9 | | sbcel2 4302 |
. . . . . 6
⊢
([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵) |
10 | 9 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)) |
11 | | sbcel2 4302 |
. . . . . 6
⊢
([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶) |
12 | 11 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)) |
13 | 10, 12 | bibi12d 349 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐵 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) |
14 | 13 | albidv 1926 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑦([𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐵 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝑦 ∈ 𝐶) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) |
15 | 6, 8, 14 | 3bitrd 308 |
. 2
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥]𝐵 = 𝐶 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶))) |
16 | | dfcleq 2731 |
. 2
⊢
(⦋𝐴 /
𝑥⦌𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)) |
17 | 15, 16 | bitr4di 292 |
1
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥]𝐵 = 𝐶 ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐶)) |