MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  euelss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem euelss 4287
Description: Transfer uniqueness of an element to a smaller subclass. (Contributed by AV, 14-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
euelss ((𝐴𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∃!𝑥 𝑥𝐵) → ∃!𝑥 𝑥𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem euelss
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 df-rex 3141 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 ⊤ ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ⊤))
3 ancom 461 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ∧ ⊤) ↔ (⊤ ∧ 𝑥𝐴))
4 truan 1539 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝐴) ↔ 𝑥𝐴)
53, 4bitri 276 . . . . . 6 ((𝑥𝐴 ∧ ⊤) ↔ 𝑥𝐴)
65exbii 1839 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥𝐴 ∧ ⊤) ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
72, 6sylbbr 237 . . . 4 (∃𝑥 𝑥𝐴 → ∃𝑥𝐴 ⊤)
8 df-reu 3142 . . . . 5 (∃!𝑥𝐵 ⊤ ↔ ∃!𝑥(𝑥𝐵 ∧ ⊤))
9 ancom 461 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵 ∧ ⊤) ↔ (⊤ ∧ 𝑥𝐵))
10 truan 1539 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝐵) ↔ 𝑥𝐵)
119, 10bitri 276 . . . . . 6 ((𝑥𝐵 ∧ ⊤) ↔ 𝑥𝐵)
1211eubii 2663 . . . . 5 (∃!𝑥(𝑥𝐵 ∧ ⊤) ↔ ∃!𝑥 𝑥𝐵)
138, 12sylbbr 237 . . . 4 (∃!𝑥 𝑥𝐵 → ∃!𝑥𝐵 ⊤)
14 reuss 4281 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ∃𝑥𝐴 ⊤ ∧ ∃!𝑥𝐵 ⊤) → ∃!𝑥𝐴 ⊤)
151, 7, 13, 14syl3an 1152 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∃!𝑥 𝑥𝐵) → ∃!𝑥𝐴 ⊤)
16 df-reu 3142 . . 3 (∃!𝑥𝐴 ⊤ ↔ ∃!𝑥(𝑥𝐴 ∧ ⊤))
1715, 16sylib 219 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∃!𝑥 𝑥𝐵) → ∃!𝑥(𝑥𝐴 ∧ ⊤))
18 ancom 461 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ⊤))
194, 18bitr3i 278 . . 3 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴 ∧ ⊤))
2019eubii 2663 . 2 (∃!𝑥 𝑥𝐴 ↔ ∃!𝑥(𝑥𝐴 ∧ ⊤))
2117, 20sylibr 235 1 ((𝐴𝐵 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∃!𝑥 𝑥𝐵) → ∃!𝑥 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079  wtru 1529  wex 1771  wcel 2105  ∃!weu 2646  wrex 3136  ∃!wreu 3137  wss 3933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-in 3940  df-ss 3949
This theorem is referenced by:  initoeu1  17259  termoeu1  17266
  Copyright terms: Public domain W3C validator