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Theorem initoeu1 17904
Description: Initial objects are essentially unique (strong form), i.e. there is a unique isomorphism between two initial objects, see statement in [Lang] p. 58 ("... if P, P' are two universal objects [...] then there exists a unique isomorphism between them.". (Proposed by BJ, 14-Apr-2020.) (Contributed by AV, 14-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
initoeu1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
initoeu1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
initoeu1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
initoeu1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐡,𝑓   𝐢,𝑓   πœ‘,𝑓

Proof of Theorem initoeu1
Dummy variables π‘Ž 𝑔 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 initoeu1.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
2 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
3 eqid 2737 . . . 4 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
4 initoeu1.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
52, 3, 4isinitoi 17892 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏)))
61, 5mpdan 686 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏)))
7 initoeu1.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
82, 3, 4isinitoi 17892 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)))
97, 8mpdan 686 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)))
10 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏) = (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡))
1110eleq2d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏) ↔ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)))
1211eubidv 2585 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏) ↔ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)))
1312rspcv 3580 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)))
14 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (Isoβ€˜πΆ) = (Isoβ€˜πΆ)
154adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
16 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
17 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
182, 3, 14, 15, 16, 17isohom 17666 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡) βŠ† (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡))
1918adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž))) β†’ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡) βŠ† (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡))
20 euex 2576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡))
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)))
22 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) = (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴))
2322eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) ↔ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)))
2423eubidv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) ↔ βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)))
2524rspcva 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴))
26 euex 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴))
2827ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)))
2928ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)))
30 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Invβ€˜πΆ) = (Invβ€˜πΆ)
3115ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
3216ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
3317ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
344, 1, 72initoinv 17903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝑓(𝐴(Invβ€˜πΆ)𝐡)𝑔)
3534ad4ant134 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝑓(𝐴(Invβ€˜πΆ)𝐡)𝑔)
362, 30, 31, 32, 33, 14, 35inviso1 17656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))
3736ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))
3837eximdv 1921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))
3938expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))))
4039exlimiv 1934 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))))
4140com3l 89 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ (βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))))
4241impd 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ ((βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))
4321, 29, 42syl2and 609 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ ((βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))
4443imp 408 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž))) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))
45 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž))) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡))
46 euelss 4286 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡) βŠ† (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))
4719, 44, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž))) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))
4847exp42 437 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ ((βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))))
4948com24 95 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))))
5049com14 96 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ ((βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))))
5150expd 417 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))))))
5213, 51syldc 48 . . . . . 6 (βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏) β†’ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))))))
5352com15 101 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))))))
5453impd 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))))
559, 54mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))))
5655impd 412 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏)) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))
576, 56mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒ!weu 2567  βˆ€wral 3065   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  Hom chom 17151  Catccat 17551  Invcinv 17635  Isociso 17636  InitOcinito 17874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-cat 17555  df-cid 17556  df-sect 17637  df-inv 17638  df-iso 17639  df-inito 17877
This theorem is referenced by:  initoeu1w  17905
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