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Theorem initoeu1 17965
Description: Initial objects are essentially unique (strong form), i.e. there is a unique isomorphism between two initial objects, see statement in [Lang] p. 58 ("... if P, P' are two universal objects [...] then there exists a unique isomorphism between them.". (Proposed by BJ, 14-Apr-2020.) (Contributed by AV, 14-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
initoeu1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
initoeu1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
initoeu1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
initoeu1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐡,𝑓   𝐢,𝑓   πœ‘,𝑓

Proof of Theorem initoeu1
Dummy variables π‘Ž 𝑔 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 initoeu1.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
2 eqid 2730 . . . 4 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
3 eqid 2730 . . . 4 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
4 initoeu1.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
52, 3, 4isinitoi 17953 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏)))
61, 5mpdan 683 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏)))
7 initoeu1.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (InitOβ€˜πΆ))
82, 3, 4isinitoi 17953 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)))
97, 8mpdan 683 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)))
10 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏) = (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡))
1110eleq2d 2817 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏) ↔ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)))
1211eubidv 2578 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏) ↔ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)))
1312rspcv 3607 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)))
14 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (Isoβ€˜πΆ) = (Isoβ€˜πΆ)
154adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
16 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
17 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
182, 3, 14, 15, 16, 17isohom 17727 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡) βŠ† (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡))
1918adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž))) β†’ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡) βŠ† (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡))
20 euex 2569 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡))
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)))
22 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) = (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴))
2322eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) ↔ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)))
2423eubidv 2578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) ↔ βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)))
2524rspcva 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴))
26 euex 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴))
2827ex 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)))
2928ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)))
30 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Invβ€˜πΆ) = (Invβ€˜πΆ)
3115ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
3216ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
3317ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
344, 1, 72initoinv 17964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝑓(𝐴(Invβ€˜πΆ)𝐡)𝑔)
3534ad4ant134 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝑓(𝐴(Invβ€˜πΆ)𝐡)𝑔)
362, 30, 31, 32, 33, 14, 35inviso1 17717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))
3736ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))
3837eximdv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))
3938expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))))
4039exlimiv 1931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))))
4140com3l 89 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ (βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))))
4241impd 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ ((βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)𝐴)) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))
4321, 29, 42syl2and 606 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ ((βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))
4443imp 405 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž))) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))
45 simprl 767 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž))) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡))
46 euelss 4320 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡) βŠ† (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡)) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))
4719, 44, 45, 46syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž))) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))
4847exp42 434 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ ((βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))))
4948com24 95 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))))
5049com14 96 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ ((βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))))
5150expd 414 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝐡) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))))))
5213, 51syldc 48 . . . . . 6 (βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏) β†’ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))))))
5352com15 101 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž) β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))))))
5453impd 409 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑔 𝑔 ∈ (𝐡(Hom β€˜πΆ)π‘Ž)) β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))))
559, 54mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))))
5655impd 409 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Hom β€˜πΆ)𝑏)) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡)))
576, 56mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (𝐴(Isoβ€˜πΆ)𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  βˆƒ!weu 2560  βˆ€wral 3059   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Hom chom 17212  Catccat 17612  Invcinv 17696  Isociso 17697  InitOcinito 17935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-cat 17616  df-cid 17617  df-sect 17698  df-inv 17699  df-iso 17700  df-inito 17938
This theorem is referenced by:  initoeu1w  17966
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