Theorem indifdirOLD 4186

Description: Obsolete version of indifdir 4185 as of 14-Aug-2024. (Contributed by Scott Fenton, 14-Apr-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
indifdirOLD	⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐶) = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶))

Proof of Theorem indifdirOLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 406	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
2	1	intnan 490	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
3		anass 472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
4	2, 3	mtbir 326	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
5	4	biorfi 939	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∨ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
6		an32 646	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
7		andi 1008	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∨ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
8	5, 6, 7	3bitr4i 306	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
9		ianor 982	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
10	9	anbi2i 626	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
11	8, 10	bitr4i 281	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
12		elin 3869	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
13		eldif 3863	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
14	13	anbi1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
15	12, 14	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
16		eldif 3863	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
17		elin 3869	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
18		elin 3869	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
19	18	notbii 323	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶))
20	17, 19	anbi12i 630	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
21	16, 20	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)))
22	11, 15, 21	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶)))
23	22	eqriv 2733	1 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∩ 𝐶) = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∖ (𝐵 ∩ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ∖ cdif 3850   ∩ cin 3852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-tru 1546  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-v 3400  df-dif 3856  df-in 3860

This theorem is referenced by: (None)