Theorem rabssd 46430

Description: Restricted class abstraction in a subclass relationship. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabssd.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rabssd.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
rabssd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜒) → 𝑥 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rabssd	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜒} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem rabssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabssd.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rabssd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜒) → 𝑥 ∈ 𝐵)
3	2	3exp 1137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜒 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
4	1, 3	ralrimi 3264	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜒 → 𝑥 ∈ 𝐵))
5		rabssd.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
6	5	rabssf 46407	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜒} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜒 → 𝑥 ∈ 𝐵))
7	4, 6	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜒} ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911  ∀wral 3080  {crab 3416   ⊆ wss 3900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rab 3417  df-ss 3901

This theorem is used by:  pimxrneun  46771  fsupdm  48125  finfdm  48129