Theorem rabssd 45893

Description: Restricted class abstraction in a subclass relationship. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabssd.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rabssd.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
rabssd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜒) → 𝑥 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rabssd	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜒} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem rabssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabssd.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rabssd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜒) → 𝑥 ∈ 𝐵)
3	2	3exp 1137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜒 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
4	1, 3	ralrimi 3265	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜒 → 𝑥 ∈ 𝐵))
5		rabssd.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
6	5	rabssf 45870	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜒} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜒 → 𝑥 ∈ 𝐵))
7	4, 6	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜒} ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2912  ∀wral 3081  {crab 3418   ⊆ wss 3906

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rab 3419  df-ss 3923

This theorem is used by:  pimxrneun  46235  fsupdm  47589  finfdm  47593