Theorem pimxrneun 43077

Description: The preimage of a set of extended reals that does not contain a value 𝐶 is the union of the preimage of the elements smaller than 𝐶 and the preimage of the subset of elements larger than 𝐶. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimxrneun.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimxrneun.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
pimxrneun.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
pimxrneun	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))

Proof of Theorem pimxrneun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimxrneun.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfrab1 3329	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶}
3		nfrab1 3329	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}
4	2, 3	nfun 4105	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵})
5		simpl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
7	5, 6	jca 513	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶))
8		rabid 3322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶))
9	7, 8	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶})
10	9	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶})
11		elun1 4116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
13	12	3adantl3 1168	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
14		3simpa 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
15	14	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
16		pimxrneun.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
17	16	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
18	17	3adantl3 1168	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
19		pimxrneun.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20	19	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
21	20	3adantl3 1168	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
22		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → ¬ 𝐵 < 𝐶)
23	18, 21, 22	xrnltled 11089	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ≤ 𝐵)
24		necom 2995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵)
25	24	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → 𝐶 ≠ 𝐵)
26	25	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
27	26	3ad2antl3 1187	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
28	18, 21, 23, 27	xrleneltd 42910	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
29		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵))
30	29	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵))
31		rabid 3322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵))
32	30, 31	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵})
33		elun2 4117	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
34	32, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
35	15, 28, 34	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
36	13, 35	pm2.61dan 811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
37	1, 4, 36	rabssd 42729	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶} ⊆ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
38	19	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
39	16	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
40		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
41	38, 39, 40	xrltned 42944	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
42	41	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐵 ≠ 𝐶))
43	1, 42	ss2rabdf 42742	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶})
44	16	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
45	19	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
46		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
47	44, 45, 46	xrgtned 42909	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐶)
48	47	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐶))
49	1, 48	ss2rabdf 42742	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶})
50	43, 49	unssd 4126	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶})
51	37, 50	eqssd 3943	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  {crab 3284   ∪ cun 3890   class class class wbr 5081  ℝ^*cxr 11054   < clt 11055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061

This theorem is referenced by: (None)