Theorem pimxrneun 45456

Description: The preimage of a set of extended reals that does not contain a value 𝐶 is the union of the preimage of the elements smaller than 𝐶 and the preimage of the subset of elements larger than 𝐶. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimxrneun.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimxrneun.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
pimxrneun.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
pimxrneun	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))

Proof of Theorem pimxrneun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimxrneun.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfrab1 3440	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶}
3		nfrab1 3440	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}
4	2, 3	nfun 4150	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵})
5		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
7	5, 6	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶))
8		rabid 3441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶))
9	7, 8	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶})
10	9	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶})
11		elun1 4162	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
13	12	3adantl3 1168	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
14		3simpa 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
16		pimxrneun.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
18	17	3adantl3 1168	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
19		pimxrneun.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
21	20	3adantl3 1168	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → ¬ 𝐵 < 𝐶)
23	18, 21, 22	xrnltled 11311	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ≤ 𝐵)
24		necom 2984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵)
25	24	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → 𝐶 ≠ 𝐵)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
27	26	3ad2antl3 1187	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
28	18, 21, 23, 27	xrleneltd 45291	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
29		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵))
30	29	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵))
31		rabid 3441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵))
32	30, 31	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵})
33		elun2 4163	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
34	32, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
35	15, 28, 34	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
36	13, 35	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
37	1, 4, 36	rabssd 45104	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶} ⊆ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
38	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
39	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
40		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
41	38, 39, 40	xrltned 45325	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
42	41	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐵 ≠ 𝐶))
43	1, 42	ss2rabdf 45112	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶})
44	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
45	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
46		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
47	44, 45, 46	xrgtned 45290	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐶)
48	47	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐶))
49	1, 48	ss2rabdf 45112	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶})
50	43, 49	unssd 4172	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶})
51	37, 50	eqssd 3981	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  {crab 3419   ∪ cun 3929   class class class wbr 5123  ℝ^*cxr 11276   < clt 11277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283

This theorem is referenced by:  smfdmmblpimne  46809  smfpimne  46811