Theorem pimxrneun 43283

Description: The preimage of a set of extended reals that does not contain a value 𝐶 is the union of the preimage of the elements smaller than 𝐶 and the preimage of the subset of elements larger than 𝐶. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimxrneun.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimxrneun.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
pimxrneun.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
pimxrneun	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))

Proof of Theorem pimxrneun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimxrneun.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfrab1 3421	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶}
3		nfrab1 3421	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}
4	2, 3	nfun 4109	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵})
5		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
7	5, 6	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶))
8		rabid 3422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶))
9	7, 8	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶})
10	9	adantll 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶})
11		elun1 4120	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
13	12	3adantl3 1167	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
14		3simpa 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
15	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
16		pimxrneun.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
18	17	3adantl3 1167	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
19		pimxrneun.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20	19	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
21	20	3adantl3 1167	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
22		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → ¬ 𝐵 < 𝐶)
23	18, 21, 22	xrnltled 11122	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ≤ 𝐵)
24		necom 2994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵)
25	24	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → 𝐶 ≠ 𝐵)
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
27	26	3ad2antl3 1186	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
28	18, 21, 23, 27	xrleneltd 43116	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
29		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵))
30	29	adantll 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵))
31		rabid 3422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵))
32	30, 31	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵})
33		elun2 4121	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
34	32, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
35	15, 28, 34	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
36	13, 35	pm2.61dan 810	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
37	1, 4, 36	rabssd 42931	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶} ⊆ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
38	19	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
39	16	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
40		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
41	38, 39, 40	xrltned 43150	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
42	41	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐵 ≠ 𝐶))
43	1, 42	ss2rabdf 42944	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶})
44	16	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
45	19	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
46		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
47	44, 45, 46	xrgtned 43115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐶)
48	47	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐶))
49	1, 48	ss2rabdf 42944	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶})
50	43, 49	unssd 4130	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶})
51	37, 50	eqssd 3947	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  {crab 3403   ∪ cun 3894   class class class wbr 5086  ℝ^*cxr 11087   < clt 11088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-id 5506  df-po 5520  df-so 5521  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094

This theorem is referenced by:  smfdmmblpimne  44631  smfpimne  44633