Theorem pimxrneun 45939

Description: The preimage of a set of extended reals that does not contain a value 𝐶 is the union of the preimage of the elements smaller than 𝐶 and the preimage of the subset of elements larger than 𝐶. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimxrneun.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimxrneun.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
pimxrneun.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
pimxrneun	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))

Proof of Theorem pimxrneun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimxrneun.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfrab1 3411	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶}
3		nfrab1 3411	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}
4	2, 3	nfun 4101	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵})
5		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
7	5, 6	jca 516	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶))
8		rabid 3412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶))
9	7, 8	sylibr 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶})
10	9	adantll 720	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶})
11		elun1 4112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
13	12	3adantl3 1175	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
14		3simpa 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
15	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
16		pimxrneun.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
18	17	3adantl3 1175	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
19		pimxrneun.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20	19	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
21	20	3adantl3 1175	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
22		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → ¬ 𝐵 < 𝐶)
23	18, 21, 22	xrnltled 11206	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ≤ 𝐵)
24		necom 2987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵)
25	24	birani 504	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
26	25	3ad2antl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
27	18, 21, 23, 26	xrleneltd 45776	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
28		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵))
29	28	adantll 720	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵))
30		rabid 3412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵))
31	29, 30	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵})
32		elun2 4113	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
34	15, 27, 33	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
35	13, 34	pm2.61dan 818	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
36	1, 4, 35	rabssd 45597	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶} ⊆ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
37	19	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38	16	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
39		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
40	37, 38, 39	xrltned 45810	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
41	40	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐵 ≠ 𝐶))
42	1, 41	ss2rabdf 45605	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶})
43	16	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
44	19	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
45		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
46	43, 44, 45	xrgtned 13107	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐶)
47	46	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐶))
48	1, 47	ss2rabdf 45605	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶})
49	42, 48	unssd 4122	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶})
50	36, 49	eqssd 3932	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  {crab 3391   ∪ cun 3881   class class class wbr 5073  ℝ^*cxr 11170   < clt 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177

This theorem is referenced by:  smfdmmblpimne  47288  smfpimne  47290