Theorem pimxrneun 45916

Description: The preimage of a set of extended reals that does not contain a value 𝐶 is the union of the preimage of the elements smaller than 𝐶 and the preimage of the subset of elements larger than 𝐶. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimxrneun.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimxrneun.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
pimxrneun.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
pimxrneun	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))

Proof of Theorem pimxrneun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimxrneun.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfrab1 3409	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶}
3		nfrab1 3409	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}
4	2, 3	nfun 4110	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵})
5		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
6		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
7	5, 6	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶))
8		rabid 3410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶))
9	7, 8	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶})
10	9	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶})
11		elun1 4122	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
13	12	3adantl3 1170	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
14		3simpa 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
16		pimxrneun.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
18	17	3adantl3 1170	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
19		pimxrneun.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
21	20	3adantl3 1170	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → ¬ 𝐵 < 𝐶)
23	18, 21, 22	xrnltled 11214	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ≤ 𝐵)
24		necom 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵)
25	24	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → 𝐶 ≠ 𝐵)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
27	26	3ad2antl3 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 𝐵)
28	18, 21, 23, 27	xrleneltd 45753	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
29		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵))
30	29	adantll 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵))
31		rabid 3410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 < 𝐵))
32	30, 31	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵})
33		elun2 4123	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵} → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
34	32, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
35	15, 28, 34	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
36	13, 35	pm2.61dan 813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
37	1, 4, 36	rabssd 45572	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶} ⊆ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))
38	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
39	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
40		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
41	38, 39, 40	xrltned 45787	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ≠ 𝐶)
42	41	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐵 ≠ 𝐶))
43	1, 42	ss2rabdf 45580	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶})
44	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
45	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
46		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
47	44, 45, 46	xrgtned 13115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐶)
48	47	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐶))
49	1, 48	ss2rabdf 45580	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶})
50	43, 49	unssd 4132	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶})
51	37, 50	eqssd 3939	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≠ 𝐶} = ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 < 𝐵}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {crab 3389   ∪ cun 3887   class class class wbr 5085  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by:  smfdmmblpimne  47265  smfpimne  47267