Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimxrneun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimxrneun 45338
Description: The preimage of a set of extended reals that does not contain a value 𝐶 is the union of the preimage of the elements smaller than 𝐶 and the preimage of the subset of elements larger than 𝐶. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
pimxrneun.1 𝑥𝜑
pimxrneun.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
pimxrneun.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
pimxrneun (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} = ({𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵}))

Proof of Theorem pimxrneun
StepHypRef Expression
1 pimxrneun.1 . . 3 𝑥𝜑
2 nfrab1 3458 . . . 4 𝑥{𝑥𝐴𝐵 < 𝐶}
3 nfrab1 3458 . . . 4 𝑥{𝑥𝐴𝐶 < 𝐵}
42, 3nfun 4187 . . 3 𝑥({𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵})
5 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵 < 𝐶) → 𝑥𝐴)
6 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
75, 6jca 511 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐵 < 𝐶) → (𝑥𝐴𝐵 < 𝐶))
8 rabid 3459 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ↔ (𝑥𝐴𝐵 < 𝐶))
97, 8sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶})
109adantll 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶})
11 elun1 4199 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵}))
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵}))
13123adantl3 1168 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴𝐵𝐶) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵}))
14 3simpa 1148 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝐵𝐶) → (𝜑𝑥𝐴))
1514adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → (𝜑𝑥𝐴))
16 pimxrneun.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
1716adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
18173adantl3 1168 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
19 pimxrneun.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2019adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
21203adantl3 1168 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
22 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → ¬ 𝐵 < 𝐶)
2318, 21, 22xrnltled 11354 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶𝐵)
24 necom 2996 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐶𝐶𝐵)
2524biimpi 216 . . . . . . . 8 (𝐵𝐶𝐶𝐵)
2625adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐵𝐶 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶𝐵)
27263ad2antl3 1187 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶𝐵)
2818, 21, 23, 27xrleneltd 45172 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
29 id 22 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐶 < 𝐵) → (𝑥𝐴𝐶 < 𝐵))
3029adantll 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → (𝑥𝐴𝐶 < 𝐵))
31 rabid 3459 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵} ↔ (𝑥𝐴𝐶 < 𝐵))
3230, 31sylibr 234 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵})
33 elun2 4200 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵} → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵}))
3432, 33syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵}))
3515, 28, 34syl2anc 583 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴𝐵𝐶) ∧ ¬ 𝐵 < 𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵}))
3613, 35pm2.61dan 812 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴𝐵𝐶) → 𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵}))
371, 4, 36rabssd 44978 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} ⊆ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵}))
3819adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3916adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
40 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
4138, 39, 40xrltned 45206 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐵𝐶)
4241ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 < 𝐶𝐵𝐶))
431, 42ss2rabdf 44989 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶})
4416adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4519adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
46 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐶 < 𝐵)
4744, 45, 46xrgtned 45171 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐵𝐶)
4847ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 < 𝐵𝐵𝐶))
491, 48ss2rabdf 44989 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶})
5043, 49unssd 4209 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵}) ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶})
5137, 50eqssd 4020 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} = ({𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∪ {𝑥𝐴𝐶 < 𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wnf 1781  wcel 2103  wne 2942  {crab 3438  cun 3968   class class class wbr 5169  *cxr 11319   < clt 11320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-po 5611  df-so 5612  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326
This theorem is referenced by:  smfdmmblpimne  46692  smfpimne  46694
  Copyright terms: Public domain W3C validator