Theorem rabssf 43856

Description: Restricted class abstraction in a subclass relationship. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rabssf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
rabssf	⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem rabssf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3434	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
2	1	sseq1i 4011	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐵)
3		rabssf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
4	3	abssf 43849	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵))
5		impexp 452	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
6	5	albii 1822	. . 3 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
7		df-ral 3063	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 278	. 2 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))
9	2, 4, 8	3bitri 297	1 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  ∀wal 1540   ∈ wcel 2107  {cab 2710  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3062  {crab 3433   ⊆ wss 3949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-tru 1545  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-in 3956  df-ss 3966

This theorem is referenced by:  rabssd  43879  supminfxr2  44227  preimageiingt  45484  preimaleiinlt  45485  smfmullem4  45558