Theorem rabssf 45478

Description: Restricted class abstraction in a subclass relationship. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rabssf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
rabssf	⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem rabssf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3402	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
2	1	sseq1i 3964	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐵)
3		rabssf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
4	3	abssf 45471	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵))
5		impexp 450	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
6	5	albii 1821	. . 3 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
7		df-ral 3053	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 278	. 2 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))
9	2, 4, 8	3bitri 297	1 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   ∈ wcel 2114  {cab 2715  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3052  {crab 3401   ⊆ wss 3903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1545  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rab 3402  df-ss 3920

This theorem is referenced by:  rabssd  45501  supminfxr2  45827  preimageiingt  47078  preimaleiinlt  47079  smfmullem4  47152