Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finfdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finfdm 46861
Description: The domain of the inf function is defined in Proposition 121F (c) of [Fremlin1], p. 39. See smfinf 46833. Note that this definition of the inf function is quite general, as it does not require the original functions to be sigma-measurable, and it could be applied to uncountable sets of functions. The equality proved here is part of the proof of the fifth statement of Proposition 121H in [Fremlin1], p. 39. (Contributed by Glauco Siliprandi, 1-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
finfdm.1 𝑛𝜑
finfdm.2 𝑥𝜑
finfdm.3 𝑚𝜑
finfdm.4 𝑥𝐹
finfdm.5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ*)
finfdm.6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
finfdm.7 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}))
Assertion
Ref Expression
finfdm (𝜑𝐷 = 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑚   𝑚,𝐹,𝑦   𝑦,𝐻   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem finfdm
StepHypRef Expression
1 finfdm.6 . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
2 finfdm.2 . . . 4 𝑥𝜑
3 nfcv 2905 . . . . 5 𝑥
4 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑥𝑍
5 finfdm.7 . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}))
6 nfrab1 3457 . . . . . . . . . . 11 𝑥{𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
73, 6nfmpt 5249 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)})
84, 7nfmpt 5249 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑛𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}))
95, 8nfcxfr 2903 . . . . . . . 8 𝑥𝐻
10 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑥𝑛
119, 10nffv 6916 . . . . . . 7 𝑥(𝐻𝑛)
12 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑥𝑚
1311, 12nffv 6916 . . . . . 6 𝑥((𝐻𝑛)‘𝑚)
144, 13nfiin 5024 . . . . 5 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)
153, 14nfiun 5023 . . . 4 𝑥 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)
16 finfdm.3 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝜑
17 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑚 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
1816, 17nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
19 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑚 𝑦 ∈ ℝ
2018, 19nfan 1899 . . . . . . . . 9 𝑚((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
21 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑚𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)
2220, 21nfan 1899 . . . . . . . 8 𝑚(((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥))
23 finfdm.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝜑
24 nfii1 5029 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
2524nfel2 2924 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
2623, 25nfan 1899 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
27 nfv 1914 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 𝑦 ∈ ℝ
2826, 27nfan 1899 . . . . . . . . . . 11 𝑛((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
29 nfra1 3284 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)
3028, 29nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑛(((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥))
31 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝑚 ∈ ℕ
32 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑛-𝑦 < 𝑚
3330, 31, 32nf3an 1901 . . . . . . . . 9 𝑛((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚)
34 vex 3484 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) → 𝑥 ∈ V)
36 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
37363ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
39 eliinid 45116 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
4037, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
41 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ ℕ)
42 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
4342renegcld 11690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → -𝑚 ∈ ℝ)
4443rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → -𝑚 ∈ ℝ*)
4541, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → -𝑚 ∈ ℝ*)
46 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ)
47 rexr 11307 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ*)
49483ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
51503ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
52 finfdm.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ*)
53523adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ*)
54 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
5553, 54ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛)) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ*)
5651, 38, 40, 55syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ*)
57463ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ)
58 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → -𝑦 < 𝑚)
59 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) → 𝑦 ∈ ℝ)
60423ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
61 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) → -𝑦 < 𝑚)
6259, 60, 61ltnegcon1d 11843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) → -𝑚 < 𝑦)
6357, 41, 58, 62syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → -𝑚 < 𝑦)
64 simpl1r 1226 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥))
65 rspa 3248 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥))
6664, 38, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥))
6745, 49, 56, 63, 66xrltletrd 13203 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥))
6840, 67rabidd 45160 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)})
69 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍𝑛𝑍)
70 nnex 12272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ ∈ V
7170mptex 7243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}) ∈ V
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}) ∈ V)
735fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}) ∈ V) → (𝐻𝑛) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}))
7469, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 → (𝐻𝑛) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}))
75 finfdm.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝐹
7675, 10nffv 6916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝐹𝑛)
7776nfdm 5962 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥dom (𝐹𝑛)
78 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝑛) ∈ V
7978dmex 7931 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝐹𝑛) ∈ V
8077, 79rabexf 45139 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)} ∈ V
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)} ∈ V)
8274, 81fvmpt2d 7029 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑛)‘𝑚) = {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)})
8382eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)} = ((𝐻𝑛)‘𝑚))
8438, 41, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)} = ((𝐻𝑛)‘𝑚))
8568, 84eleqtrd 2843 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛)‘𝑚))
8633, 35, 85eliind2 45135 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ -𝑦 < 𝑚) → 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
87 renegcl 11572 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
8887archd 45167 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑚 ∈ ℕ -𝑦 < 𝑚)
8988ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ -𝑦 < 𝑚)
9022, 86, 89reximdd 45153 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
9190rexlimdva2 3157 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)))
92913impia 1118 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
93 eliun 4995 . . . . 5 (𝑥 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
9492, 93sylibr 234 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) → 𝑥 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
952, 15, 94rabssd 45147 . . 3 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)} ⊆ 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
961, 95eqsstrid 4022 . 2 (𝜑𝐷 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
97 nfcv 2905 . . 3 𝑚𝐷
98 nfv 1914 . . . . 5 𝑥 𝑚 ∈ ℕ
992, 98nfan 1899 . . . 4 𝑥(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
100 nfrab1 3457 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
1011, 100nfcxfr 2903 . . . 4 𝑥𝐷
10223, 31nfan 1899 . . . . . . . 8 𝑛(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
103 nfii1 5029 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)
104103nfel2 2924 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)
105102, 104nfan 1899 . . . . . . 7 𝑛((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
106 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
107 eliinid 45116 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛)‘𝑚))
108107adantll 714 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛)‘𝑚))
10969adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
110 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ ℕ)
111109, 110, 82syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐻𝑛)‘𝑚) = {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)})
112108, 111eleqtrd 2843 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)})
113 rabidim1 3459 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)} → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
114112, 113syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
115105, 106, 114eliind2 45135 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
11643ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → -𝑚 ∈ ℝ)
117 breq1 5146 . . . . . . . . 9 (𝑦 = -𝑚 → (𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ↔ -𝑚 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)))
118117ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑦 = -𝑚 → (∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ↔ ∀𝑛𝑍 -𝑚 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)))
119118adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑦 = -𝑚) → (∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ↔ ∀𝑛𝑍 -𝑚 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)))
120110, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → -𝑚 ∈ ℝ*)
121 simplll 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
122121, 109, 114, 55syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ*)
123 rabidim2 45107 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)} → -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥))
124112, 123syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥))
125120, 122, 124xrltled 13192 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → -𝑚 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥))
126105, 125ralrimia 3258 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → ∀𝑛𝑍 -𝑚 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥))
127116, 119, 126rspcedvd 3624 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥))
128115, 127rabidd 45160 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)})
129128, 1eleqtrrdi 2852 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → 𝑥𝐷)
13099, 14, 101, 129ssdf2 45146 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚) ⊆ 𝐷)
13116, 97, 130iunssdf 45161 . 2 (𝜑 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚) ⊆ 𝐷)
13296, 131eqssd 4001 1 (𝜑𝐷 = 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wnfc 2890  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480   ciun 4991   ciin 4992   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  cr 11154  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493  cn 12266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267
This theorem is referenced by:  finfdm2  46862
  Copyright terms: Public domain W3C validator