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Theorem fsupdm 45548
Description: The domain of the sup function is defined in Proposition 121F (b) of [Fremlin1], p. 38. Note that this definition of the sup function is quite general, as it does not require the original functions to be sigma-measurable, and it could be applied to uncountable sets of functions. The equality proved here is part of the proof of the fourth statement of Proposition 121H in [Fremlin1], p. 39. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
fsupdm.1 β„²π‘›πœ‘
fsupdm.2 β„²π‘₯πœ‘
fsupdm.3 β„²π‘šπœ‘
fsupdm.4 β„²π‘₯𝐹
fsupdm.5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„*)
fsupdm.6 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦}
fsupdm.7 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘š ∈ β„• ↦ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š}))
Assertion
Ref Expression
fsupdm (πœ‘ β†’ 𝐷 = βˆͺ π‘š ∈ β„• ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘š   π‘š,𝐹,𝑦   𝑦,𝐻   π‘š,𝑍,𝑛,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem fsupdm
StepHypRef Expression
1 fsupdm.6 . . 3 𝐷 = {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦}
2 fsupdm.2 . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
3 nfcv 2903 . . . . 5 β„²π‘₯β„•
4 nfcv 2903 . . . . . 6 β„²π‘₯𝑍
5 fsupdm.7 . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘š ∈ β„• ↦ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š}))
6 nfrab1 3451 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š}
73, 6nfmpt 5255 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(π‘š ∈ β„• ↦ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š})
84, 7nfmpt 5255 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘š ∈ β„• ↦ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š}))
95, 8nfcxfr 2901 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝐻
10 nfcv 2903 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑛
119, 10nffv 6901 . . . . . . 7 β„²π‘₯(π»β€˜π‘›)
12 nfcv 2903 . . . . . . 7 β„²π‘₯π‘š
1311, 12nffv 6901 . . . . . 6 β„²π‘₯((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)
144, 13nfiin 5028 . . . . 5 β„²π‘₯∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)
153, 14nfiun 5027 . . . 4 β„²π‘₯βˆͺ π‘š ∈ β„• ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)
16 fsupdm.3 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘šπœ‘
17 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘š π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
1816, 17nfan 1902 . . . . . . . . . 10 β„²π‘š(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
19 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 β„²π‘š 𝑦 ∈ ℝ
2018, 19nfan 1902 . . . . . . . . 9 β„²π‘š((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
21 nfv 1917 . . . . . . . . 9 β„²π‘šβˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦
2220, 21nfan 1902 . . . . . . . 8 β„²π‘š(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
23 fsupdm.1 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘›πœ‘
24 nfii1 5032 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘›βˆ© 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
2524nfcri 2890 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑛 π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)
2623, 25nfan 1902 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
27 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑛 𝑦 ∈ ℝ
2826, 27nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
29 nfra1 3281 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘›βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦
3028, 29nfan 1902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
31 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛 π‘š ∈ β„•
32 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛 𝑦 < π‘š
3330, 31, 32nf3an 1904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š)
34 vex 3478 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) β†’ π‘₯ ∈ V)
36 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
37363ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
38 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
39 eliinid 43790 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
4037, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
41 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
42413ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
43 fsupdm.5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„*)
4442, 38, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„*)
4544, 40ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
46 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
4746rexrd 11263 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
48473ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
49 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘š ∈ β„•)
5049nnxrd 43973 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘š ∈ ℝ*)
51 simpl1r 1225 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
52 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
5351, 38, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
54 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑦 < π‘š)
5545, 48, 50, 53, 54xrlelttrd 13138 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š)
5640, 55rabidd 43839 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š})
57 trud 1551 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ⊀)
58 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
59 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑛𝑍
60 nnex 12217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„• ∈ V
6160mptex 7224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ β„• ↦ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š}) ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š}) ∈ V)
6359, 5, 62fvmpt2df 43967 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘›) = (π‘š ∈ β„• ↦ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š}))
6457, 58, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ (π»β€˜π‘›) = (π‘š ∈ β„• ↦ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š}))
65 fsupdm.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯𝐹
6665, 10nffv 6901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘›)
6766nfdm 5950 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯dom (πΉβ€˜π‘›)
68 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΉβ€˜π‘›) ∈ V
6968dmex 7901 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (πΉβ€˜π‘›) ∈ V
7067, 69rabexf 43813 . . . . . . . . . . . . . 14 {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š} ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š} ∈ V)
7264, 71fvmpt2d 7011 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š) = {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š})
7372eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š} = ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š))
7438, 49, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š} = ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š))
7556, 74eleqtrd 2835 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š))
7633, 35, 75eliind2 43809 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝑦 < π‘š) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š))
77 arch 12468 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 < π‘š)
7877ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 < π‘š)
7922, 76, 78reximdd 43831 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š))
8079rexlimdva2 3157 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)))
81803impia 1117 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š))
82 eliun 5001 . . . . 5 (π‘₯ ∈ βˆͺ π‘š ∈ β„• ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š) ↔ βˆƒπ‘š ∈ β„• π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š))
8381, 82sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ π‘š ∈ β„• ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š))
842, 15, 83rabssd 43821 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦} βŠ† βˆͺ π‘š ∈ β„• ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š))
851, 84eqsstrid 4030 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ π‘š ∈ β„• ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š))
86 nfcv 2903 . . 3 β„²π‘šπ·
87 nfv 1917 . . . . 5 β„²π‘₯ π‘š ∈ β„•
882, 87nfan 1902 . . . 4 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•)
89 nfrab1 3451 . . . . 5 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦}
901, 89nfcxfr 2901 . . . 4 β„²π‘₯𝐷
9123, 31nfan 1902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•)
92 nfii1 5032 . . . . . . . . 9 β„²π‘›βˆ© 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)
9392nfcri 2890 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛 π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)
9491, 93nfan 1902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š))
9534a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) β†’ π‘₯ ∈ V)
96 eliinid 43790 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š))
9796adantll 712 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š))
98 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
99 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘š ∈ β„•)
10098, 99, 72syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š) = {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š})
10197, 100eleqtrd 2835 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š})
102 rabidim1 3453 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š} β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
103101, 102syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
10494, 95, 103eliind2 43809 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›))
105 nnre 12218 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ ℝ)
106105ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) β†’ π‘š ∈ ℝ)
107 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘š β†’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦 ↔ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ π‘š))
108107ralbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘š β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ π‘š))
109108adantl 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) ∧ 𝑦 = π‘š) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ π‘š))
110 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
111433adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘›):dom (πΉβ€˜π‘›)βŸΆβ„*)
112 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›))
113111, 112ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
114110, 98, 103, 113syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
11599nnxrd 43973 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ π‘š ∈ ℝ*)
116 rabidim2 43781 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š} β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š)
117101, 116syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < π‘š)
118114, 115, 117xrltled 13128 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ π‘š)
11994, 118ralrimia 3255 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ π‘š)
120106, 109, 119rspcedvd 3614 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
121104, 120rabidd 43839 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (πΉβ€˜π‘›) ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦})
122121, 1eleqtrrdi 2844 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
12388, 14, 90, 122ssdf2 43820 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š) βŠ† 𝐷)
12416, 86, 123iunssdf 43840 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘š ∈ β„• ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š) βŠ† 𝐷)
12585, 124eqssd 3999 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 = βˆͺ π‘š ∈ β„• ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 ((π»β€˜π‘›)β€˜π‘š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474  βˆͺ ciun 4997  βˆ© ciin 4998   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„cr 11108  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„•cn 12211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212
This theorem is referenced by:  fsupdm2  45549
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