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Theorem fsupdm 46857
Description: The domain of the sup function is defined in Proposition 121F (b) of [Fremlin1], p. 38. Note that this definition of the sup function is quite general, as it does not require the original functions to be sigma-measurable, and it could be applied to uncountable sets of functions. The equality proved here is part of the proof of the fourth statement of Proposition 121H in [Fremlin1], p. 39. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
fsupdm.1 𝑛𝜑
fsupdm.2 𝑥𝜑
fsupdm.3 𝑚𝜑
fsupdm.4 𝑥𝐹
fsupdm.5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ*)
fsupdm.6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
fsupdm.7 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
Assertion
Ref Expression
fsupdm (𝜑𝐷 = 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑚   𝑚,𝐹,𝑦   𝑦,𝐻   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fsupdm
StepHypRef Expression
1 fsupdm.6 . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
2 fsupdm.2 . . . 4 𝑥𝜑
3 nfcv 2905 . . . . 5 𝑥
4 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑥𝑍
5 fsupdm.7 . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
6 nfrab1 3457 . . . . . . . . . . 11 𝑥{𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚}
73, 6nfmpt 5249 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚})
84, 7nfmpt 5249 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑛𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
95, 8nfcxfr 2903 . . . . . . . 8 𝑥𝐻
10 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑥𝑛
119, 10nffv 6916 . . . . . . 7 𝑥(𝐻𝑛)
12 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑥𝑚
1311, 12nffv 6916 . . . . . 6 𝑥((𝐻𝑛)‘𝑚)
144, 13nfiin 5024 . . . . 5 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)
153, 14nfiun 5023 . . . 4 𝑥 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)
16 fsupdm.3 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝜑
17 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑚 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
1816, 17nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
19 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑚 𝑦 ∈ ℝ
2018, 19nfan 1899 . . . . . . . . 9 𝑚((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
21 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑚𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦
2220, 21nfan 1899 . . . . . . . 8 𝑚(((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
23 fsupdm.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝜑
24 nfii1 5029 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
2524nfcri 2897 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
2623, 25nfan 1899 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
27 nfv 1914 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 𝑦 ∈ ℝ
2826, 27nfan 1899 . . . . . . . . . . 11 𝑛((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
29 nfra1 3284 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦
3028, 29nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑛(((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
31 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝑚 ∈ ℕ
32 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝑦 < 𝑚
3330, 31, 32nf3an 1901 . . . . . . . . 9 𝑛((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚)
34 vex 3484 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) → 𝑥 ∈ V)
36 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
37363ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
39 eliinid 45116 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
4037, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
41 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
42413ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
43 fsupdm.5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ*)
4442, 38, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ*)
4544, 40ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ*)
46 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ)
4746rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ*)
48473ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ*)
49 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ ℕ)
5049nnxrd 45285 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ ℝ*)
51 simpl1r 1226 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
52 rspa 3248 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
5351, 38, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
54 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 < 𝑚)
5545, 48, 50, 53, 54xrlelttrd 13202 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚)
5640, 55rabidd 45160 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚})
57 trud 1550 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍 → ⊤)
58 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍𝑛𝑍)
59 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑍
60 nnex 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ ∈ V
6160mptex 7243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚}) ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑛𝑍) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚}) ∈ V)
6359, 5, 62fvmpt2df 45279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
6457, 58, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 → (𝐻𝑛) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
65 fsupdm.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝐹
6665, 10nffv 6916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝐹𝑛)
6766nfdm 5962 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥dom (𝐹𝑛)
68 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝑛) ∈ V
6968dmex 7931 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝐹𝑛) ∈ V
7067, 69rabexf 45139 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚} ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚} ∈ V)
7264, 71fvmpt2d 7029 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑛)‘𝑚) = {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚})
7372eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚} = ((𝐻𝑛)‘𝑚))
7438, 49, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚} = ((𝐻𝑛)‘𝑚))
7556, 74eleqtrd 2843 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛)‘𝑚))
7633, 35, 75eliind2 45135 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) → 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
77 arch 12523 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑚)
7877ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑚)
7922, 76, 78reximdd 45153 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
8079rexlimdva2 3157 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)))
81803impia 1118 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
82 eliun 4995 . . . . 5 (𝑥 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
8381, 82sylibr 234 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) → 𝑥 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
842, 15, 83rabssd 45147 . . 3 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ⊆ 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
851, 84eqsstrid 4022 . 2 (𝜑𝐷 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
86 nfcv 2905 . . 3 𝑚𝐷
87 nfv 1914 . . . . 5 𝑥 𝑚 ∈ ℕ
882, 87nfan 1899 . . . 4 𝑥(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
89 nfrab1 3457 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
901, 89nfcxfr 2903 . . . 4 𝑥𝐷
9123, 31nfan 1899 . . . . . . . 8 𝑛(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
92 nfii1 5029 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)
9392nfcri 2897 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)
9491, 93nfan 1899 . . . . . . 7 𝑛((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
9534a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → 𝑥 ∈ V)
96 eliinid 45116 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛)‘𝑚))
9796adantll 714 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛)‘𝑚))
98 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
99 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ ℕ)
10098, 99, 72syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐻𝑛)‘𝑚) = {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚})
10197, 100eleqtrd 2843 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚})
102 rabidim1 3459 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚} → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
103101, 102syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
10494, 95, 103eliind2 45135 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
105 nnre 12273 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
106105ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
107 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑚 → (((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑚))
108107ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑚 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑚))
109108adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑦 = 𝑚) → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑚))
110 simplll 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
111433adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ*)
112 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
113111, 112ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛)) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ*)
114110, 98, 103, 113syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ*)
11599nnxrd 45285 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ ℝ*)
116 rabidim2 45107 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚} → ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚)
117101, 116syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚)
118114, 115, 117xrltled 13192 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑚)
11994, 118ralrimia 3258 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑚)
120106, 109, 119rspcedvd 3624 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
121104, 120rabidd 45160 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
122121, 1eleqtrrdi 2852 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → 𝑥𝐷)
12388, 14, 90, 122ssdf2 45146 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚) ⊆ 𝐷)
12416, 86, 123iunssdf 45161 . 2 (𝜑 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚) ⊆ 𝐷)
12585, 124eqssd 4001 1 (𝜑𝐷 = 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wtru 1541  wnf 1783  wcel 2108  wnfc 2890  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480   ciun 4991   ciin 4992   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  cr 11154  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cn 12266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267
This theorem is referenced by:  fsupdm2  46858
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