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Theorem fsupdm 44977
Description: The domain of the sup function is defined in Proposition 121F (b) of [Fremlin1], p. 38. Note that this definition of the sup function is quite general, as it does not require the original functions to be sigma-measurable, and it could be applied to uncountable sets of functions. The equality proved here is part of the proof of the fourth statement of Proposition 121H in [Fremlin1], p. 39. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
fsupdm.1 𝑛𝜑
fsupdm.2 𝑥𝜑
fsupdm.3 𝑚𝜑
fsupdm.4 𝑥𝐹
fsupdm.5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ*)
fsupdm.6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
fsupdm.7 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
Assertion
Ref Expression
fsupdm (𝜑𝐷 = 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑚   𝑚,𝐹,𝑦   𝑦,𝐻   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem fsupdm
StepHypRef Expression
1 fsupdm.6 . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
2 fsupdm.2 . . . 4 𝑥𝜑
3 nfcv 2905 . . . . 5 𝑥
4 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑥𝑍
5 fsupdm.7 . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
6 nfrab1 3424 . . . . . . . . . . 11 𝑥{𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚}
73, 6nfmpt 5210 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚})
84, 7nfmpt 5210 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑛𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
95, 8nfcxfr 2903 . . . . . . . 8 𝑥𝐻
10 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑥𝑛
119, 10nffv 6849 . . . . . . 7 𝑥(𝐻𝑛)
12 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑥𝑚
1311, 12nffv 6849 . . . . . 6 𝑥((𝐻𝑛)‘𝑚)
144, 13nfiin 4983 . . . . 5 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)
153, 14nfiun 4982 . . . 4 𝑥 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)
16 fsupdm.3 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝜑
17 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑚 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
1816, 17nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
19 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑚 𝑦 ∈ ℝ
2018, 19nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑚((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
21 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑚𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦
2220, 21nfan 1902 . . . . . . . 8 𝑚(((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
23 fsupdm.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝜑
24 nfii1 4987 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
2524nfcri 2892 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)
2623, 25nfan 1902 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
27 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 𝑦 ∈ ℝ
2826, 27nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 𝑛((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
29 nfra1 3265 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦
3028, 29nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑛(((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
31 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝑚 ∈ ℕ
32 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝑦 < 𝑚
3330, 31, 32nf3an 1904 . . . . . . . . 9 𝑛((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚)
34 vex 3447 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) → 𝑥 ∈ V)
36 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
37363ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
38 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
39 eliinid 43225 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
4037, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
41 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
42413ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
43 fsupdm.5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ*)
4442, 38, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ*)
4544, 40ffvelcdmd 7032 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ*)
46 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ)
4746rexrd 11163 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ*)
48473ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ*)
49 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ ℕ)
5049nnxrd 43405 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ ℝ*)
51 simpl1r 1225 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
52 rspa 3229 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
5351, 38, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
54 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 < 𝑚)
5545, 48, 50, 53, 54xrlelttrd 13033 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚)
5640, 55rabidd 43274 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚})
57 trud 1551 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍 → ⊤)
58 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍𝑛𝑍)
59 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑍
60 nnex 12117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℕ ∈ V
6160mptex 7169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚}) ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑛𝑍) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚}) ∈ V)
6359, 5, 62fvmpt2df 43400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
6457, 58, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 → (𝐻𝑛) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
65 fsupdm.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝐹
6665, 10nffv 6849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝐹𝑛)
6766nfdm 5904 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥dom (𝐹𝑛)
68 fvex 6852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝑛) ∈ V
6968dmex 7840 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝐹𝑛) ∈ V
7067, 69rabexf 43248 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚} ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚} ∈ V)
7264, 71fvmpt2d 6958 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑛)‘𝑚) = {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚})
7372eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚} = ((𝐻𝑛)‘𝑚))
7438, 49, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚} = ((𝐻𝑛)‘𝑚))
7556, 74eleqtrd 2840 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛)‘𝑚))
7633, 35, 75eliind2 43244 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑚) → 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
77 arch 12368 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑚)
7877ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑚)
7922, 76, 78reximdd 43266 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
8079rexlimdva2 3152 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛)) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)))
81803impia 1117 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
82 eliun 4956 . . . . 5 (𝑥 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
8381, 82sylibr 233 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦) → 𝑥 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
842, 15, 83rabssd 43256 . . 3 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} ⊆ 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
851, 84eqsstrid 3990 . 2 (𝜑𝐷 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
86 nfcv 2905 . . 3 𝑚𝐷
87 nfv 1917 . . . . 5 𝑥 𝑚 ∈ ℕ
882, 87nfan 1902 . . . 4 𝑥(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
89 nfrab1 3424 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
901, 89nfcxfr 2903 . . . 4 𝑥𝐷
9123, 31nfan 1902 . . . . . . . 8 𝑛(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
92 nfii1 4987 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)
9392nfcri 2892 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)
9491, 93nfan 1902 . . . . . . 7 𝑛((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
9534a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → 𝑥 ∈ V)
96 eliinid 43225 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛)‘𝑚))
9796adantll 712 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ ((𝐻𝑛)‘𝑚))
98 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
99 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ ℕ)
10098, 99, 72syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐻𝑛)‘𝑚) = {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚})
10197, 100eleqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚})
102 rabidim1 3426 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚} → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
103101, 102syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
10494, 95, 103eliind2 43244 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → 𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛))
105 nnre 12118 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
106105ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
107 breq2 5107 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑚 → (((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑚))
108107ralbidv 3172 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑚 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑚))
109108adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑦 = 𝑚) → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑚))
110 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝜑)
111433adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑛):dom (𝐹𝑛)⟶ℝ*)
112 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛))
113111, 112ffvelcdmd 7032 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛)) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ*)
114110, 98, 103, 113syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ*)
11599nnxrd 43405 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ ℝ*)
116 rabidim2 43216 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚} → ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚)
117101, 116syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) < 𝑚)
118114, 115, 117xrltled 13023 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑚)
11994, 118ralrimia 3239 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑚)
120106, 109, 119rspcedvd 3581 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
121104, 120rabidd 43274 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦})
122121, 1eleqtrrdi 2849 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚)) → 𝑥𝐷)
12388, 14, 90, 122ssdf2 43255 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚) ⊆ 𝐷)
12416, 86, 123iunssdf 43275 . 2 (𝜑 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚) ⊆ 𝐷)
12585, 124eqssd 3959 1 (𝜑𝐷 = 𝑚 ∈ ℕ 𝑛𝑍 ((𝐻𝑛)‘𝑚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wnf 1785  wcel 2106  wnfc 2885  wral 3062  wrex 3071  {crab 3405  Vcvv 3443   ciun 4952   ciin 4953   class class class wbr 5103  cmpt 5186  dom cdm 5631  wf 6489  cfv 6493  cr 11008  *cxr 11146   < clt 11147  cle 11148  cn 12111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112
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