MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sbnf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sbnf2 2355
Description: Two ways of expressing "π‘₯ is (effectively) not free in πœ‘". (Contributed by GΓ©rard Lang, 14-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2016.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 22-Sep-2018.) Avoid ax-13 2372. (Revised by Wolf Lammen, 30-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
sbnf2 (β„²π‘₯πœ‘ ↔ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§([𝑦 / π‘₯]πœ‘ ↔ [𝑧 / π‘₯]πœ‘))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   πœ‘(π‘₯)

Proof of Theorem sbnf2
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘¦πœ‘
21sb8ef 2352 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯πœ‘ ↔ βˆƒπ‘¦[𝑦 / π‘₯]πœ‘)
3 sb8v 2349 . . . . 5 (βˆ€π‘₯πœ‘ ↔ βˆ€π‘§[𝑧 / π‘₯]πœ‘)
42, 3imbi12i 351 . . . 4 ((βˆƒπ‘₯πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯πœ‘) ↔ (βˆƒπ‘¦[𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ βˆ€π‘§[𝑧 / π‘₯]πœ‘))
5 df-nf 1787 . . . 4 (β„²π‘₯πœ‘ ↔ (βˆƒπ‘₯πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯πœ‘))
6 pm11.53v 1948 . . . 4 (βˆ€π‘¦βˆ€π‘§([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ [𝑧 / π‘₯]πœ‘) ↔ (βˆƒπ‘¦[𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ βˆ€π‘§[𝑧 / π‘₯]πœ‘))
74, 5, 63bitr4i 303 . . 3 (β„²π‘₯πœ‘ ↔ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ [𝑧 / π‘₯]πœ‘))
8 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘§πœ‘
98sb8ef 2352 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯πœ‘ ↔ βˆƒπ‘§[𝑧 / π‘₯]πœ‘)
10 sb8v 2349 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯πœ‘ ↔ βˆ€π‘¦[𝑦 / π‘₯]πœ‘)
119, 10imbi12i 351 . . . . 5 ((βˆƒπ‘₯πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯πœ‘) ↔ (βˆƒπ‘§[𝑧 / π‘₯]πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦[𝑦 / π‘₯]πœ‘))
12 pm11.53v 1948 . . . . 5 (βˆ€π‘§βˆ€π‘¦([𝑧 / π‘₯]πœ‘ β†’ [𝑦 / π‘₯]πœ‘) ↔ (βˆƒπ‘§[𝑧 / π‘₯]πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦[𝑦 / π‘₯]πœ‘))
1311, 5, 123bitr4i 303 . . . 4 (β„²π‘₯πœ‘ ↔ βˆ€π‘§βˆ€π‘¦([𝑧 / π‘₯]πœ‘ β†’ [𝑦 / π‘₯]πœ‘))
14 alcom 2157 . . . 4 (βˆ€π‘§βˆ€π‘¦([𝑧 / π‘₯]πœ‘ β†’ [𝑦 / π‘₯]πœ‘) ↔ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§([𝑧 / π‘₯]πœ‘ β†’ [𝑦 / π‘₯]πœ‘))
1513, 14bitri 275 . . 3 (β„²π‘₯πœ‘ ↔ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§([𝑧 / π‘₯]πœ‘ β†’ [𝑦 / π‘₯]πœ‘))
167, 15anbi12i 628 . 2 ((β„²π‘₯πœ‘ ∧ β„²π‘₯πœ‘) ↔ (βˆ€π‘¦βˆ€π‘§([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ [𝑧 / π‘₯]πœ‘) ∧ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§([𝑧 / π‘₯]πœ‘ β†’ [𝑦 / π‘₯]πœ‘)))
17 pm4.24 565 . 2 (β„²π‘₯πœ‘ ↔ (β„²π‘₯πœ‘ ∧ β„²π‘₯πœ‘))
18 2albiim 1894 . 2 (βˆ€π‘¦βˆ€π‘§([𝑦 / π‘₯]πœ‘ ↔ [𝑧 / π‘₯]πœ‘) ↔ (βˆ€π‘¦βˆ€π‘§([𝑦 / π‘₯]πœ‘ β†’ [𝑧 / π‘₯]πœ‘) ∧ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§([𝑧 / π‘₯]πœ‘ β†’ [𝑦 / π‘₯]πœ‘)))
1916, 17, 183bitr4i 303 1 (β„²π‘₯πœ‘ ↔ βˆ€π‘¦βˆ€π‘§([𝑦 / π‘₯]πœ‘ ↔ [𝑧 / π‘₯]πœ‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540  βˆƒwex 1782  β„²wnf 1786  [wsb 2068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069
This theorem is referenced by:  sbnfc2  4437  nfnid  5374  ichnfim  46132
  Copyright terms: Public domain W3C validator