New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  fnfreclem3 GIF version

Theorem fnfreclem3 6319
 Description: Lemma for fnfrec 6320. The value of F at a successor is G related to a previous element. (Contributed by Scott Fenton, 31-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fnfreclem2.1 F = FRec (G, I)
fnfreclem2.2 (φG V)
fnfreclem2.3 (φI dom G)
fnfreclem2.4 (φ → ran G dom G)
fnfreclem3.5 (φX Nn )
fnfreclem3.6 (φ → (X +c 1c)FY)
Assertion
Ref Expression
fnfreclem3 (φz(XFz zGY))
Distinct variable groups:   z,G   z,I   z,X   φ,z   z,F   z,Y
Allowed substitution hint:   V(z)

Proof of Theorem fnfreclem3
Dummy variables w a t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cex 4392 . . . . 5 0c V
2 fnfreclem2.3 . . . . 5 (φI dom G)
3 opexg 4587 . . . . 5 ((0c V I dom G) → 0c, I V)
41, 2, 3sylancr 644 . . . 4 (φ0c, I V)
5 elsnc2g 3761 . . . 4 (0c, I V → ((X +c 1c), Y {0c, I} ↔ (X +c 1c), Y = 0c, I))
64, 5syl 15 . . 3 (φ → ((X +c 1c), Y {0c, I} ↔ (X +c 1c), Y = 0c, I))
7 opth 4602 . . . . 5 ((X +c 1c), Y = 0c, I ↔ ((X +c 1c) = 0c Y = I))
87simplbi 446 . . . 4 ((X +c 1c), Y = 0c, I → (X +c 1c) = 0c)
9 0cnsuc 4401 . . . . . . 7 (X +c 1c) ≠ 0c
10 df-ne 2518 . . . . . . 7 ((X +c 1c) ≠ 0c ↔ ¬ (X +c 1c) = 0c)
119, 10mpbi 199 . . . . . 6 ¬ (X +c 1c) = 0c
1211pm2.21i 123 . . . . 5 ((X +c 1c) = 0cz(XFz zGY))
1312a1i 10 . . . 4 (φ → ((X +c 1c) = 0cz(XFz zGY)))
148, 13syl5 28 . . 3 (φ → ((X +c 1c), Y = 0c, Iz(XFz zGY)))
156, 14sylbid 206 . 2 (φ → ((X +c 1c), Y {0c, I} → z(XFz zGY)))
16 vex 2862 . . . . . . 7 a V
17 opeqex 4621 . . . . . . 7 (a V → tz a = t, z)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . 6 tz a = t, z
19 excom 1741 . . . . . 6 (tz a = t, zzt a = t, z)
2018, 19mpbi 199 . . . . 5 zt a = t, z
21 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . 12 (a = t, z → (a Ft, z F))
22 df-br 4640 . . . . . . . . . . . 12 (tFzt, z F)
2321, 22syl6bbr 254 . . . . . . . . . . 11 (a = t, z → (a FtFz))
2423anbi2d 684 . . . . . . . . . 10 (a = t, z → ((φ a F) ↔ (φ tFz)))
25 breq1 4642 . . . . . . . . . . 11 (a = t, z → (a PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Yt, z PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Y))
26 qrpprod 5836 . . . . . . . . . . . 12 (t, z PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Y ↔ (t(w V (w +c 1c))(X +c 1c) zGY))
27 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t V
28 addceq1 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (w = t → (w +c 1c) = (t +c 1c))
29 eqid 2353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (w V (w +c 1c)) = (w V (w +c 1c))
30 1cex 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1c V
3127, 30addcex 4394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (t +c 1c) V
3228, 29, 31fvmpt 5700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (t V → ((w V (w +c 1c)) ‘t) = (t +c 1c))
3327, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((w V (w +c 1c)) ‘t) = (t +c 1c)
3433eqeq1i 2360 . . . . . . . . . . . . . 14 (((w V (w +c 1c)) ‘t) = (X +c 1c) ↔ (t +c 1c) = (X +c 1c))
3529fnmpt 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (w V (w +c 1c) V → (w V (w +c 1c)) Fn V)
36 addcexg 4393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((w V 1c V) → (w +c 1c) V)
3730, 36mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (w V → (w +c 1c) V)
3835, 37mprg 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (w V (w +c 1c)) Fn V
39 fnbrfvb 5358 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((w V (w +c 1c)) Fn V t V) → (((w V (w +c 1c)) ‘t) = (X +c 1c) ↔ t(w V (w +c 1c))(X +c 1c)))
4038, 27, 39mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14 (((w V (w +c 1c)) ‘t) = (X +c 1c) ↔ t(w V (w +c 1c))(X +c 1c))
4134, 40bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . 13 ((t +c 1c) = (X +c 1c) ↔ t(w V (w +c 1c))(X +c 1c))
4241anbi1i 676 . . . . . . . . . . . 12 (((t +c 1c) = (X +c 1c) zGY) ↔ (t(w V (w +c 1c))(X +c 1c) zGY))
4326, 42bitr4i 243 . . . . . . . . . . 11 (t, z PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Y ↔ ((t +c 1c) = (X +c 1c) zGY))
4425, 43syl6bb 252 . . . . . . . . . 10 (a = t, z → (a PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Y ↔ ((t +c 1c) = (X +c 1c) zGY)))
4524, 44anbi12d 691 . . . . . . . . 9 (a = t, z → (((φ a F) a PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Y) ↔ ((φ tFz) ((t +c 1c) = (X +c 1c) zGY))))
46 breldm 4911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (tFzt dom F)
4746adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14 ((φ tFz) → t dom F)
48 fnfreclem2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 F = FRec (G, I)
49 fnfreclem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (φG V)
50 fnfreclem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (φ → ran G dom G)
5148, 49, 2, 50dmfrec 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (φ → dom F = Nn )
5251adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((φ tFz) → dom F = Nn )
5347, 52eleqtrd 2429 . . . . . . . . . . . . 13 ((φ tFz) → t Nn )
54 fnfreclem3.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (φX Nn )
5554adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13 ((φ tFz) → X Nn )
56 peano4 4557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((t Nn X Nn (t +c 1c) = (X +c 1c)) → t = X)
57563expia 1153 . . . . . . . . . . . . 13 ((t Nn X Nn ) → ((t +c 1c) = (X +c 1c) → t = X))
5853, 55, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 ((φ tFz) → ((t +c 1c) = (X +c 1c) → t = X))
59 breq1 4642 . . . . . . . . . . . . . 14 (t = X → (tFzXFz))
6059biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . 13 (tFz → (t = XXFz))
6160adantl 452 . . . . . . . . . . . 12 ((φ tFz) → (t = XXFz))
6258, 61syld 40 . . . . . . . . . . 11 ((φ tFz) → ((t +c 1c) = (X +c 1c) → XFz))
6362anim1d 547 . . . . . . . . . 10 ((φ tFz) → (((t +c 1c) = (X +c 1c) zGY) → (XFz zGY)))
6463imp 418 . . . . . . . . 9 (((φ tFz) ((t +c 1c) = (X +c 1c) zGY)) → (XFz zGY))
6545, 64syl6bi 219 . . . . . . . 8 (a = t, z → (((φ a F) a PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Y) → (XFz zGY)))
6665com12 27 . . . . . . 7 (((φ a F) a PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Y) → (a = t, z → (XFz zGY)))
6766exlimdv 1636 . . . . . 6 (((φ a F) a PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Y) → (t a = t, z → (XFz zGY)))
6867eximdv 1622 . . . . 5 (((φ a F) a PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Y) → (zt a = t, zz(XFz zGY)))
6920, 68mpi 16 . . . 4 (((φ a F) a PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Y) → z(XFz zGY))
7069ex 423 . . 3 ((φ a F) → (a PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Yz(XFz zGY)))
7170rexlimdva 2738 . 2 (φ → (a F a PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Yz(XFz zGY)))
72 fnfreclem3.6 . . 3 (φ → (X +c 1c)FY)
73 df-br 4640 . . . 4 ((X +c 1c)FY(X +c 1c), Y F)
74 snex 4111 . . . . 5 {0c, I} V
75 csucex 6259 . . . . . 6 (w V (w +c 1c)) V
76 pprodexg 5837 . . . . . 6 (((w V (w +c 1c)) V G V) → PProd ((w V (w +c 1c)), G) V)
7775, 49, 76sylancr 644 . . . . 5 (φPProd ((w V (w +c 1c)), G) V)
78 df-frec 6310 . . . . . . 7 FRec (G, I) = Clos1 ({0c, I}, PProd ((w V (w +c 1c)), G))
7948, 78eqtri 2373 . . . . . 6 F = Clos1 ({0c, I}, PProd ((w V (w +c 1c)), G))
8079clos1basesucg 5884 . . . . 5 (({0c, I} V PProd ((w V (w +c 1c)), G) V) → ((X +c 1c), Y F ↔ ((X +c 1c), Y {0c, I} a F a PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Y)))
8174, 77, 80sylancr 644 . . . 4 (φ → ((X +c 1c), Y F ↔ ((X +c 1c), Y {0c, I} a F a PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Y)))
8273, 81syl5bb 248 . . 3 (φ → ((X +c 1c)FY ↔ ((X +c 1c), Y {0c, I} a F a PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Y)))
8372, 82mpbid 201 . 2 (φ → ((X +c 1c), Y {0c, I} a F a PProd ((w V (w +c 1c)), G)(X +c 1c), Y))
8415, 71, 83mpjaod 370 1 (φz(XFz zGY))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 176   ∨ wo 357   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ⊆ wss 3257  {csn 3737  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   +c cplc 4375  ⟨cop 4561   class class class wbr 4639  dom cdm 4772  ran crn 4773   Fn wfn 4776   ‘cfv 4781   ↦ cmpt 5651   PProd cpprod 5737   Clos1 cclos1 5872   FRec cfrec 6309 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-fo 4793  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-pprod 5738  df-fix 5740  df-cup 5742  df-disj 5744  df-addcfn 5746  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-clos1 5873  df-frec 6310 This theorem is referenced by:  fnfrec  6320
 Copyright terms: Public domain W3C validator