Theorem leconnnc 6219

Description: Cardinal less than or equal is total over the naturals. (Contributed by SF, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
leconnnc	|- ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> (A <_c B \/ B <_c A))

Proof of Theorem leconnnc

Dummy variables a m n p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4644	. . . . . 6 |- (n = B -> (A <_c n <-> A <_c B))
2		breq1 4643	. . . . . 6 |- (n = B -> (n <_c A <-> B <_c A))
3	1, 2	orbi12d 690	. . . . 5 |- (n = B -> ((A <_c n \/ n <_c A) <-> (A <_c B \/ B <_c A)))
4	3	imbi2d 307	. . . 4 |- (n = B -> ((A e. Nn -> (A <_c n \/ n <_c A)) <-> (A e. Nn -> (A <_c B \/ B <_c A))))
5		elun 3221	. . . . . . . . . . . 12 |- (a e. ((`' <_c "{n}) u. ( <_c "{n})) <-> (a e. (`' <_c "{n}) \/ a e. ( <_c "{n})))
6		eliniseg 5021	. . . . . . . . . . . . 13 |- (a e. (`' <_c "{n}) <-> a <_c n)
7		elimasn 5020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (a e. ( <_c "{n}) <-> <.n, a>. e. <_c )
8		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (n <_c a <-> <.n, a>. e. <_c )
9	7, 8	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . 13 |- (a e. ( <_c "{n}) <-> n <_c a)
10	6, 9	orbi12i 507	. . . . . . . . . . . 12 |- ((a e. (`' <_c "{n}) \/ a e. ( <_c "{n})) <-> (a <_c n \/ n <_c a))
11	5, 10	bitri 240	. . . . . . . . . . 11 |- (a e. ((`' <_c "{n}) u. ( <_c "{n})) <-> (a <_c n \/ n <_c a))
12	11	abbi2i 2465	. . . . . . . . . 10 |- ((`' <_c "{n}) u. ( <_c "{n})) = {a | (a <_c n \/ n <_c a)}
13	12	uneq2i 3416	. . . . . . . . 9 |- ({a | -. n e. Nn } u. ((`' <_c "{n}) u. ( <_c "{n}))) = ({a | -. n e. Nn } u. {a | (a <_c n \/ n <_c a)})
14		unab 3522	. . . . . . . . 9 |- ({a | -. n e. Nn } u. {a | (a <_c n \/ n <_c a)}) = {a | (-. n e. Nn \/ (a <_c n \/ n <_c a))}
15	13, 14	eqtri 2373	. . . . . . . 8 |- ({a | -. n e. Nn } u. ((`' <_c "{n}) u. ( <_c "{n}))) = {a | (-. n e. Nn \/ (a <_c n \/ n <_c a))}
16		imor 401	. . . . . . . . 9 |- ((n e. Nn -> (a <_c n \/ n <_c a)) <-> (-. n e. Nn \/ (a <_c n \/ n <_c a)))
17	16	abbii 2466	. . . . . . . 8 |- {a | (n e. Nn -> (a <_c n \/ n <_c a))} = {a | (-. n e. Nn \/ (a <_c n \/ n <_c a))}
18	15, 17	eqtr4i 2376	. . . . . . 7 |- ({a | -. n e. Nn } u. ((`' <_c "{n}) u. ( <_c "{n}))) = {a | (n e. Nn -> (a <_c n \/ n <_c a))}
19		abexv 4325	. . . . . . . 8 |- {a | -. n e. Nn } e. _V
20		lecex 6116	. . . . . . . . . . 11 |- <_c e. _V
21	20	cnvex 5103	. . . . . . . . . 10 |- `' <_c e. _V
22		snex 4112	. . . . . . . . . 10 |- {n} e. _V
23	21, 22	imaex 4748	. . . . . . . . 9 |- (`' <_c "{n}) e. _V
24	20, 22	imaex 4748	. . . . . . . . 9 |- ( <_c "{n}) e. _V
25	23, 24	unex 4107	. . . . . . . 8 |- ((`' <_c "{n}) u. ( <_c "{n})) e. _V
26	19, 25	unex 4107	. . . . . . 7 |- ({a | -. n e. Nn } u. ((`' <_c "{n}) u. ( <_c "{n}))) e. _V
27	18, 26	eqeltrri 2424	. . . . . 6 |- {a | (n e. Nn -> (a <_c n \/ n <_c a))} e. _V
28		breq1 4643	. . . . . . . 8 |- (a = 0c -> (a <_c n <-> 0c <_c n))
29		breq2 4644	. . . . . . . 8 |- (a = 0c -> (n <_c a <-> n <_c 0c))
30	28, 29	orbi12d 690	. . . . . . 7 |- (a = 0c -> ((a <_c n \/ n <_c a) <-> (0c <_c n \/ n <_c 0c)))
31	30	imbi2d 307	. . . . . 6 |- (a = 0c -> ((n e. Nn -> (a <_c n \/ n <_c a)) <-> (n e. Nn -> (0c <_c n \/ n <_c 0c))))
32		breq1 4643	. . . . . . . 8 |- (a = m -> (a <_c n <-> m <_c n))
33		breq2 4644	. . . . . . . 8 |- (a = m -> (n <_c a <-> n <_c m))
34	32, 33	orbi12d 690	. . . . . . 7 |- (a = m -> ((a <_c n \/ n <_c a) <-> (m <_c n \/ n <_c m)))
35	34	imbi2d 307	. . . . . 6 |- (a = m -> ((n e. Nn -> (a <_c n \/ n <_c a)) <-> (n e. Nn -> (m <_c n \/ n <_c m))))
36		breq1 4643	. . . . . . . 8 |- (a = (m +o 1c) -> (a <_c n <-> (m +o 1c) <_c n))
37		breq2 4644	. . . . . . . 8 |- (a = (m +o 1c) -> (n <_c a <-> n <_c (m +o 1c)))
38	36, 37	orbi12d 690	. . . . . . 7 |- (a = (m +o 1c) -> ((a <_c n \/ n <_c a) <-> ((m +o 1c) <_c n \/ n <_c (m +o 1c))))
39	38	imbi2d 307	. . . . . 6 |- (a = (m +o 1c) -> ((n e. Nn -> (a <_c n \/ n <_c a)) <-> (n e. Nn -> ((m +o 1c) <_c n \/ n <_c (m +o 1c)))))
40		breq1 4643	. . . . . . . 8 |- (a = A -> (a <_c n <-> A <_c n))
41		breq2 4644	. . . . . . . 8 |- (a = A -> (n <_c a <-> n <_c A))
42	40, 41	orbi12d 690	. . . . . . 7 |- (a = A -> ((a <_c n \/ n <_c a) <-> (A <_c n \/ n <_c A)))
43	42	imbi2d 307	. . . . . 6 |- (a = A -> ((n e. Nn -> (a <_c n \/ n <_c a)) <-> (n e. Nn -> (A <_c n \/ n <_c A))))
44		nnnc 6147	. . . . . . . 8 |- (n e. Nn -> n e. NC )
45		le0nc 6201	. . . . . . . 8 |- (n e. NC -> 0c <_c n)
46	44, 45	syl 15	. . . . . . 7 |- (n e. Nn -> 0c <_c n)
47		orc 374	. . . . . . 7 |- (0c <_c n -> (0c <_c n \/ n <_c 0c))
48	46, 47	syl 15	. . . . . 6 |- (n e. Nn -> (0c <_c n \/ n <_c 0c))
49		nnnc 6147	. . . . . . . . 9 |- (m e. Nn -> m e. NC )
50		dflec2 6211	. . . . . . . . . . 11 |- ((m e. NC /\ n e. NC ) -> (m <_c n <-> E.p e. NC n = (m +o p)))
51		nc0le1 6217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (p e. NC -> (p = 0c \/ 1c <_c p))
52		1cnc 6140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1c e. NC
53		le0nc 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (1c e. NC -> 0c <_c 1c)
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0c <_c 1c
55		breq1 4643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (p = 0c -> (p <_c 1c <-> 0c <_c 1c))
56	54, 55	mpbiri 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (p = 0c -> p <_c 1c)
57	56	orim1i 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((p = 0c \/ 1c <_c p) -> (p <_c 1c \/ 1c <_c p))
58	57	a1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (p e. NC -> ((p = 0c \/ 1c <_c p) -> (p <_c 1c \/ 1c <_c p)))
59	51, 58	mpd 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (p e. NC -> (p <_c 1c \/ 1c <_c p))
60	59	orcomd 377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (p e. NC -> (1c <_c p \/ p <_c 1c))
61	60	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((m e. NC /\ p e. NC ) -> (1c <_c p \/ p <_c 1c))
62		simpll 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((m e. NC /\ p e. NC ) /\ 1c <_c p) -> m e. NC )
63	52	a1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((m e. NC /\ p e. NC ) /\ 1c <_c p) -> 1c e. NC )
64		simplr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((m e. NC /\ p e. NC ) /\ 1c <_c p) -> p e. NC )
65		simpr 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((m e. NC /\ p e. NC ) /\ 1c <_c p) -> 1c <_c p)
66		leaddc2 6216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((m e. NC /\ 1c e. NC /\ p e. NC ) /\ 1c <_c p) -> (m +o 1c) <_c (m +o p))
67	62, 63, 64, 65, 66	syl31anc 1185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((m e. NC /\ p e. NC ) /\ 1c <_c p) -> (m +o 1c) <_c (m +o p))
68	67	ex 423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((m e. NC /\ p e. NC ) -> (1c <_c p -> (m +o 1c) <_c (m +o p)))
69		simpll 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((m e. NC /\ p e. NC ) /\ p <_c 1c) -> m e. NC )
70		simplr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((m e. NC /\ p e. NC ) /\ p <_c 1c) -> p e. NC )
71	52	a1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((m e. NC /\ p e. NC ) /\ p <_c 1c) -> 1c e. NC )
72		simpr 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((m e. NC /\ p e. NC ) /\ p <_c 1c) -> p <_c 1c)
73		leaddc2 6216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((m e. NC /\ p e. NC /\ 1c e. NC ) /\ p <_c 1c) -> (m +o p) <_c (m +o 1c))
74	69, 70, 71, 72, 73	syl31anc 1185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((m e. NC /\ p e. NC ) /\ p <_c 1c) -> (m +o p) <_c (m +o 1c))
75	74	ex 423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((m e. NC /\ p e. NC ) -> (p <_c 1c -> (m +o p) <_c (m +o 1c)))
76	68, 75	orim12d 811	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((m e. NC /\ p e. NC ) -> ((1c <_c p \/ p <_c 1c) -> ((m +o 1c) <_c (m +o p) \/ (m +o p) <_c (m +o 1c))))
77	61, 76	mpd 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((m e. NC /\ p e. NC ) -> ((m +o 1c) <_c (m +o p) \/ (m +o p) <_c (m +o 1c)))
78		breq2 4644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n = (m +o p) -> ((m +o 1c) <_c n <-> (m +o 1c) <_c (m +o p)))
79		breq1 4643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n = (m +o p) -> (n <_c (m +o 1c) <-> (m +o p) <_c (m +o 1c)))
80	78, 79	orbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (n = (m +o p) -> (((m +o 1c) <_c n \/ n <_c (m +o 1c)) <-> ((m +o 1c) <_c (m +o p) \/ (m +o p) <_c (m +o 1c))))
81	80	biimprd 214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (n = (m +o p) -> (((m +o 1c) <_c (m +o p) \/ (m +o p) <_c (m +o 1c)) -> ((m +o 1c) <_c n \/ n <_c (m +o 1c))))
82	81	com12 27	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((m +o 1c) <_c (m +o p) \/ (m +o p) <_c (m +o 1c)) -> (n = (m +o p) -> ((m +o 1c) <_c n \/ n <_c (m +o 1c))))
83	77, 82	syl 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((m e. NC /\ p e. NC ) -> (n = (m +o p) -> ((m +o 1c) <_c n \/ n <_c (m +o 1c))))
84	83	rexlimdva 2739	. . . . . . . . . . . 12 |- (m e. NC -> (E.p e. NC n = (m +o p) -> ((m +o 1c) <_c n \/ n <_c (m +o 1c))))
85	84	adantr 451	. . . . . . . . . . 11 |- ((m e. NC /\ n e. NC ) -> (E.p e. NC n = (m +o p) -> ((m +o 1c) <_c n \/ n <_c (m +o 1c))))
86	50, 85	sylbid 206	. . . . . . . . . 10 |- ((m e. NC /\ n e. NC ) -> (m <_c n -> ((m +o 1c) <_c n \/ n <_c (m +o 1c))))
87		addlecncs 6210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((m e. NC /\ 1c e. NC ) -> m <_c (m +o 1c))
88	52, 87	mpan2 652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (m e. NC -> m <_c (m +o 1c))
89	88	adantl 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((n e. NC /\ m e. NC ) -> m <_c (m +o 1c))
90		peano2nc 6146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m e. NC -> (m +o 1c) e. NC )
91	90	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((n e. NC /\ m e. NC ) -> (m +o 1c) e. NC )
92		lectr 6212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((n e. NC /\ m e. NC /\ (m +o 1c) e. NC ) -> ((n <_c m /\ m <_c (m +o 1c)) -> n <_c (m +o 1c)))
93	91, 92	mpd3an3 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((n e. NC /\ m e. NC ) -> ((n <_c m /\ m <_c (m +o 1c)) -> n <_c (m +o 1c)))
94	89, 93	mpan2d 655	. . . . . . . . . . . 12 |- ((n e. NC /\ m e. NC ) -> (n <_c m -> n <_c (m +o 1c)))
95	94	ancoms 439	. . . . . . . . . . 11 |- ((m e. NC /\ n e. NC ) -> (n <_c m -> n <_c (m +o 1c)))
96		olc 373	. . . . . . . . . . 11 |- (n <_c (m +o 1c) -> ((m +o 1c) <_c n \/ n <_c (m +o 1c)))
97	95, 96	syl6 29	. . . . . . . . . 10 |- ((m e. NC /\ n e. NC ) -> (n <_c m -> ((m +o 1c) <_c n \/ n <_c (m +o 1c))))
98	86, 97	jaod 369	. . . . . . . . 9 |- ((m e. NC /\ n e. NC ) -> ((m <_c n \/ n <_c m) -> ((m +o 1c) <_c n \/ n <_c (m +o 1c))))
99	49, 44, 98	syl2an 463	. . . . . . . 8 |- ((m e. Nn /\ n e. Nn ) -> ((m <_c n \/ n <_c m) -> ((m +o 1c) <_c n \/ n <_c (m +o 1c))))
100	99	ex 423	. . . . . . 7 |- (m e. Nn -> (n e. Nn -> ((m <_c n \/ n <_c m) -> ((m +o 1c) <_c n \/ n <_c (m +o 1c)))))
101	100	a2d 23	. . . . . 6 |- (m e. Nn -> ((n e. Nn -> (m <_c n \/ n <_c m)) -> (n e. Nn -> ((m +o 1c) <_c n \/ n <_c (m +o 1c)))))
102	27, 31, 35, 39, 43, 48, 101	finds 4412	. . . . 5 |- (A e. Nn -> (n e. Nn -> (A <_c n \/ n <_c A)))
103	102	com12 27	. . . 4 |- (n e. Nn -> (A e. Nn -> (A <_c n \/ n <_c A)))
104	4, 103	vtoclga 2921	. . 3 |- (B e. Nn -> (A e. Nn -> (A <_c B \/ B <_c A)))
105	104	com12 27	. 2 |- (A e. Nn -> (B e. Nn -> (A <_c B \/ B <_c A)))
106	105	imp 418	1 |- ((A e. Nn /\ B e. Nn ) -> (A <_c B \/ B <_c A))

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 357   /\ wa 358   = wceq 1642   e. wcel 1710  {cab 2339  E.wrex 2616  _Vcvv 2860   u. cun 3208  {csn 3738  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374  0_cc0c 4375   +o cplc 4376  <.cop 4562   class class class wbr 4640  "cima 4723  `'ccnv 4772   NC cncs 6089   <__c clec 6090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-en 6030  df-ncs 6099  df-lec 6100  df-nc 6102

This theorem is referenced by: (None)