Theorem 2lgsoddprmlem3c 25988

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprmlem3 25990. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3c	⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 11704	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	oveq1i 7166	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ((4 + 1)↑2)
3		4cn 11723	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		binom21 13581	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 1)↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
6	2, 5	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ (5↑2) = (((4↑2) + (2 · 4)) + 1)
7	6	oveq1i 7166	. . . 4 ⊢ ((5↑2) − 1) = ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1)
8		3cn 11719	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		8cn 11735	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	8, 9	mulcli 10648	. . . . 5 ⊢ (3 · 8) ∈ ℂ
11		ax-1cn 10595	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		sq4e2t8 13563	. . . . . . . 8 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
13		2cn 11713	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		4t2e8 11806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 2) = 8
15	9	mulid2i 10646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 8) = 8
16	14, 15	eqtr4i 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = (1 · 8)
17	3, 13, 16	mulcomli 10650	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = (1 · 8)
18	12, 17	oveq12i 7168	. . . . . . 7 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = ((2 · 8) + (1 · 8))
19	13, 11, 9	adddiri 10654	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = ((2 · 8) + (1 · 8))
20		2p1e3 11780	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
21	20	oveq1i 7166	. . . . . . 7 ⊢ ((2 + 1) · 8) = (3 · 8)
22	18, 19, 21	3eqtr2i 2850	. . . . . 6 ⊢ ((4↑2) + (2 · 4)) = (3 · 8)
23	22	oveq1i 7166	. . . . 5 ⊢ (((4↑2) + (2 · 4)) + 1) = ((3 · 8) + 1)
24	10, 11, 23	mvrraddi 10903	. . . 4 ⊢ ((((4↑2) + (2 · 4)) + 1) − 1) = (3 · 8)
25	7, 24	eqtri 2844	. . 3 ⊢ ((5↑2) − 1) = (3 · 8)
26	25	oveq1i 7166	. 2 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = ((3 · 8) / 8)
27		0re 10643	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		8pos 11750	. . . 4 ⊢ 0 < 8
29	27, 28	gtneii 10752	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
30	8, 9, 29	divcan4i 11387	. 2 ⊢ ((3 · 8) / 8) = 3
31	26, 30	eqtri 2844	1 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   − cmin 10870   / cdiv 11297  2c2 11693  3c3 11694  4c4 11695  5c5 11696  8c8 11699  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  25990