Theorem acsmre 16923

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 16922	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 500	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  𝒫 cpw 4539  ∪ cuni 4838   “ cima 5558  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  Fincfn 8509  Moorecmre 16853  ACScacs 16856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-acs 16860

This theorem is referenced by:  acsfiel  16925  acsmred  16927  mreacs  16929  isacs3lem  17776  symggen  18598  odf1o1  18697  lsmmod  18801  gsumzsplit  19047  gsumzoppg  19064  gsumpt  19082  dmdprdd  19121  dprdfeq0  19144  dprdspan  19149  dprdres  19150  dprdss  19151  subgdmdprd  19156  subgdprd  19157  dprdsn  19158  dprd2dlem1  19163  dprd2da  19164  dmdprdsplit2lem  19167  ablfac1b  19192  pgpfac1lem1  19196  pgpfac1lem3  19199  pgpfac1lem4  19200  pgpfac1lem5  19201  pgpfaclem2  19204  isnacs2  39323  proot1mul  39819  proot1hash  39820