MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsmre 16253
Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsmre (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs 16252 . 2 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠𝐶 (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
21simplbi 476 1 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wex 1701  wcel 1987  wral 2908  cin 3559  wss 3560  𝒫 cpw 4136   cuni 4409  cima 5087  wf 5853  cfv 5857  Fincfn 7915  Moorecmre 16182  ACScacs 16185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-fv 5865  df-acs 16189
This theorem is referenced by:  acsfiel  16255  acsmred  16257  mreacs  16259  isacs3lem  17106  symggen  17830  odf1o1  17927  lsmmod  18028  gsumzsplit  18267  gsumzoppg  18284  gsumpt  18301  dmdprdd  18338  dprdfeq0  18361  dprdspan  18366  dprdres  18367  dprdss  18368  subgdmdprd  18373  subgdprd  18374  dprdsn  18375  dprd2dlem1  18380  dprd2da  18381  dmdprdsplit2lem  18384  ablfac1b  18409  pgpfac1lem1  18413  pgpfac1lem3  18416  pgpfac1lem4  18417  pgpfac1lem5  18418  pgpfaclem1  18420  pgpfaclem2  18421  isnacs2  36788  proot1mul  37297  proot1hash  37298
  Copyright terms: Public domain W3C validator