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Theorem axeuclid 25756
Description: Euclid's axiom. Take an angle 𝐵𝐴𝐶 and a point 𝐷 between 𝐵 and 𝐶. Now, if you extend the segment 𝐴𝐷 to a point 𝑇, then 𝑇 lies between two points 𝑥 and 𝑦 that lie on the angle. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
axeuclid ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ 𝐴𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem axeuclid
Dummy variables 𝑖 𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl21 1137 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2 simpl22 1138 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
31, 2jca 554 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
4 simpl23 1139 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 simpl3r 1115 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))
64, 5jca 554 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁)))
7 simprll 801 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝑝 ∈ (0[,]1))
8 simprlr 802 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝑞 ∈ (0[,]1))
9 simp21 1092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
109ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
11 fveecn 25695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
1210, 11sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
13 simp3r 1088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))
1413ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) → 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))
15 fveecn 25695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇𝑖) ∈ ℂ)
1614, 15sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇𝑖) ∈ ℂ)
17 mulid2 9989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
18 mul02 10165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑇𝑖) ∈ ℂ → (0 · (𝑇𝑖)) = 0)
1917, 18oveqan12d 6629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))) = ((𝐴𝑖) + 0))
20 addid1 10167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑖) ∈ ℂ → ((𝐴𝑖) + 0) = (𝐴𝑖))
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑖) + 0) = (𝐴𝑖))
2219, 21eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖))
2312, 16, 22syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖))
24 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 0 → (1 − 𝑝) = (1 − 0))
25 1m0e1 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 − 0) = 1
2624, 25syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 0 → (1 − 𝑝) = 1)
2726oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 0 → ((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) = (1 · (𝐴𝑖)))
28 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 0 → (𝑝 · (𝑇𝑖)) = (0 · (𝑇𝑖)))
2927, 28oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 0 → (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))))
3029eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 0 → ((((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖) ↔ ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖)))
3130ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖) ↔ ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖)))
3223, 31mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (𝐴𝑖))
3332eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ↔ (𝐷𝑖) = (𝐴𝑖)))
34 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷𝑖) = (𝐴𝑖) ↔ (𝐴𝑖) = (𝐷𝑖))
3533, 34syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ↔ (𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
3635biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) → (𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
3736adantrd 484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) → (𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
3837ralimdva 2957 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑝 = 0) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
3938impancom 456 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → (𝑝 = 0 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
409ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
41 simp3l 1087 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
4241ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
43 eqeefv 25696 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐷 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
4440, 42, 43syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → (𝐴 = 𝐷 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐷𝑖)))
4539, 44sylibrd 249 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → (𝑝 = 0 → 𝐴 = 𝐷))
4645necon3d 2811 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))) → (𝐴𝐷𝑝 ≠ 0))
4746impr 648 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1))) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷)) → 𝑝 ≠ 0)
4847anasss 678 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → 𝑝 ≠ 0)
49 eqtr2 2641 . . . . . . . 8 (((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) → (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))
5049ralimi 2947 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))
5150adantr 481 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))
5251ad2antll 764 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))))
53 axeuclidlem 25755 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑝 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
543, 6, 7, 8, 48, 52, 53syl231anc 1343 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
5554exp32 630 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑝 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑞 ∈ (0[,]1)) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))))
5655rexlimdvv 3031 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
57 brbtwn 25692 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ↔ ∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖)))))
5841, 9, 13, 57syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ↔ ∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖)))))
59 simp22 1093 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
60 simp23 1094 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
61 brbtwn 25692 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
6241, 59, 60, 61syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
6358, 623anbi12d 1397 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ 𝐴𝐷) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝐴𝐷)))
64 r19.26 3058 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
65642rexbii 3036 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ↔ ∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
66 reeanv 3100 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
6765, 66bitri 264 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))))
6867anbi1i 730 . . . 4 ((∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) ↔ ((∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))
69 r19.41vv 3084 . . . 4 (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))
70 df-3an 1038 . . . 4 ((∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝐴𝐷) ↔ ((∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷))
7168, 69, 703bitr4i 292 . . 3 (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷) ↔ (∃𝑝 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ ∃𝑞 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝐴𝐷))
7263, 71syl6bbr 278 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ 𝐴𝐷) ↔ ∃𝑝 ∈ (0[,]1)∃𝑞 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐷𝑖) = (((1 − 𝑝) · (𝐴𝑖)) + (𝑝 · (𝑇𝑖))) ∧ (𝐷𝑖) = (((1 − 𝑞) · (𝐵𝑖)) + (𝑞 · (𝐶𝑖)))) ∧ 𝐴𝐷)))
73 simpl22 1138 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
74 simpl21 1137 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
75 simprl 793 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
76 brbtwn 25692 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖)))))
7773, 74, 75, 76syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖)))))
78 simpl23 1139 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
79 simprr 795 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
80 brbtwn 25692 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖)))))
8178, 74, 79, 80syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖)))))
82 simpl3r 1115 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))
83 brbtwn 25692 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
8482, 75, 79, 83syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
8577, 81, 843anbi123d 1396 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
86 r19.26-3 3060 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
8786rexbii 3035 . . . . . 6 (∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
88872rexbii 3036 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
89 3reeanv 3101 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
9088, 89bitri 264 . . . 4 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ ∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
9185, 90syl6bbr 278 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
92912rexbidva 3050 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
9356, 72, 923imtr4d 283 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑇⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ 𝐴𝐷) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑦⟩ ∧ 𝑇 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cop 4159   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  cmin 10217  cn 10971  [,]cicc 12127  ...cfz 12275  𝔼cee 25681   Btwn cbtwn 25682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-z 11329  df-uz 11639  df-icc 12131  df-fz 12276  df-ee 25684  df-btwn 25685
This theorem is referenced by:  eengtrkge  25779
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