MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulid2 9998
Description: Identity law for multiplication. Note: see mulid1 9997 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
mulid2 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9954 . . 3 1 ∈ ℂ
2 mulcom 9982 . . 3 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
31, 2mpan 705 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
4 mulid1 9997 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
53, 4eqtrd 2655 1 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6615  cc 9894  1c1 9897   · cmul 9901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-mulcl 9958  ax-mulcom 9960  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-1rid 9966  ax-cnre 9969
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-iota 5820  df-fv 5865  df-ov 6618
This theorem is referenced by:  mulid2i  10003  mulid2d  10018  muladd11  10166  1p1times  10167  mul02lem1  10172  cnegex2  10178  mulm1  10431  div1  10676  recdiv  10691  divdiv2  10697  conjmul  10702  ser1const  12813  expp1  12823  recan  14026  arisum  14536  geo2sum  14548  prodrblem  14603  prodmolem2a  14608  risefac1  14708  fallfac1  14709  bpoly3  14733  bpoly4  14734  sinhval  14828  coshval  14829  demoivreALT  14875  gcdadd  15190  gcdid  15191  cncrng  19707  cnfld1  19711  cnfldmulg  19718  blcvx  22541  icccvx  22689  cnlmod  22880  coeidp  23957  dgrid  23958  quartlem1  24518  asinsinlem  24552  asinsin  24553  atantan  24584  musumsum  24852  brbtwn2  25719  axsegconlem1  25731  ax5seglem1  25742  ax5seglem2  25743  ax5seglem4  25746  ax5seglem5  25747  axeuclid  25777  axcontlem2  25779  axcontlem4  25781  cncvcOLD  27326  subdivcomb2  31373  dvcosax  39478
  Copyright terms: Public domain W3C validator