Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5blem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem baerlem5blem2 36502
Description: Lemma for baerlem5b 36505. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p + = (+g𝑊)
baerlem3.t · = ( ·𝑠𝑊)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a = (+g𝑅)
baerlem3.l 𝐿 = (-g𝑅)
baerlem3.q 𝑄 = (0g𝑅)
baerlem3.i 𝐼 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
baerlem5blem2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))

Proof of Theorem baerlem5blem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19028 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 baerlem3.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
54eldifad 3568 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
6 baerlem3.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76eldifad 3568 . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
8 baerlem3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 baerlem3.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
10 baerlem3.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11 baerlem3.s . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
128, 9, 10, 11lspsntri 19019 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})))
133, 5, 7, 12syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})))
14 baerlem3.m . . . . . 6 = (-g𝑊)
15 baerlem3.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
168, 9lmodvacl 18801 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
173, 5, 7, 16syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
188, 14lmodvsubcl 18832 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
193, 15, 17, 18syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
208, 14, 10, 3, 19, 15lspsnsub 18929 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 (𝑌 + 𝑍)) 𝑋)}) = (𝑁‘{(𝑋 (𝑋 (𝑌 + 𝑍)))}))
21 lmodabl 18834 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
223, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
238, 14, 22, 15, 17ablnncan 18150 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) = (𝑌 + 𝑍))
2423sneqd 4162 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝑋 (𝑋 (𝑌 + 𝑍)))} = {(𝑌 + 𝑍)})
2524fveq2d 6154 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑋 (𝑌 + 𝑍)))}) = (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
2620, 25eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 (𝑌 + 𝑍)) 𝑋)}) = (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
278, 14, 11, 10lspsntrim 19020 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉𝑋𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 (𝑌 + 𝑍)) 𝑋)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋})))
283, 19, 15, 27syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 (𝑌 + 𝑍)) 𝑋)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋})))
2926, 28eqsstr3d 3621 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋})))
3013, 29ssind 3817 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))
31 elin 3776 . . . . 5 (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))) ↔ (𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))
32 baerlem3.r . . . . . . 7 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
33 baerlem3.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
34 baerlem3.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
358, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 5, 7lsmspsn 19006 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
368, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 19, 15lsmspsn 19006 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))))
3735, 36anbi12d 746 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))) ↔ (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))))
3831, 37syl5bb 272 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))) ↔ (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))))
39 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑊)
40 simp11 1089 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝜑)
4140, 1syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑊 ∈ LVec)
4240, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑋𝑉)
43 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
45 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
4640, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
4740, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4840, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
49 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11 = (+g𝑅)
50 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (-g𝑅)
51 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (0g𝑅)
52 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (invg𝑅)
53 simp12l 1172 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑎𝐵)
54 simp12r 1173 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑏𝐵)
55 simp2l 1085 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑑𝐵)
56 simp2r 1086 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑒𝐵)
57 simp13 1091 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
58 simp3 1061 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)))
598, 14, 39, 11, 10, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 9, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58baerlem5blem1 36499 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑗 = ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍)))
6040, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑊 ∈ LMod)
6132lmodring 18795 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
62 ringgrp 18476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6340, 3, 61, 624syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑅 ∈ Grp)
6433, 52grpinvcl 17391 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑𝐵) → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
6563, 55, 64syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
6640, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
678, 34, 32, 33, 10, 60, 65, 66lspsneli 18923 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → ((𝐼𝑑) · (𝑌 + 𝑍)) ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
6859, 67eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
69683exp 1261 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) → ((𝑑𝐵𝑒𝐵) → (𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))))
7069rexlimdvv 3030 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
71703exp 1261 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))))
7271rexlimdvv 3030 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))))
7372impd 447 . . . 4 (𝜑 → ((∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) + (𝑒 · 𝑋))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
7438, 73sylbid 230 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})))
7574ssrdv 3590 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))) ⊆ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
7630, 75eqssd 3601 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  cdif 3553  cin 3555  wss 3556  {csn 4150  {cpr 4152  cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  +gcplusg 15865  Scalarcsca 15868   ·𝑠 cvsca 15869  0gc0g 16024  Grpcgrp 17346  invgcminusg 17347  -gcsg 17348  LSSumclsm 17973  Abelcabl 18118  Ringcrg 18471  LModclmod 18787  LSpanclspn 18893  LVecclvec 19024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7300  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-0g 16026  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-subg 17515  df-cntz 17674  df-lsm 17975  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-oppr 18547  df-dvdsr 18565  df-unit 18566  df-invr 18596  df-drng 18673  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-lsp 18894  df-lvec 19025
This theorem is referenced by:  baerlem5b  36505
  Copyright terms: Public domain W3C validator