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Theorem caubnd2 14141
Description: A Cauchy sequence of complex numbers is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cau3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
caubnd2 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝑦,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem caubnd2
StepHypRef Expression
1 1rp 11874 . . 3 1 ∈ ℝ+
2 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1))
32anbi2d 740 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)))
43rexralbidv 3087 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)))
54rspcv 3336 . . 3 (1 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)))
61, 5ax-mp 5 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1))
7 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
8 cau3.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
97, 8eleq2s 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
10 uzid 11740 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
12 simpl 472 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1312ralimi 2981 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
14 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1514eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
1615rspcva 3338 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
1711, 13, 16syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
18 abscl 14062 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑗) ∈ ℂ → (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
20 1re 10077 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
21 readdcl 10057 . . . . . . 7 (((abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1) ∈ ℝ)
2219, 20, 21sylancl 695 . . . . . 6 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1) ∈ ℝ)
23 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
24 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
25 abs2dif 14116 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
2623, 24, 25syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
27 abscl 14062 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2924, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
3028, 29resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
3123, 24subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
32 abscl 14062 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
34 lelttr 10166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1))
3520, 34mp3an3 1453 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1))
3630, 33, 35syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1))
3726, 36mpand 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1 → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1))
38 ltsubadd2 10537 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
3920, 38mp3an3 1453 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4028, 29, 39syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4137, 40sylibd 229 . . . . . . . . . 10 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1 → (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4241expimpd 628 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4342ralimdv 2992 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4443impancom 455 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4517, 44mpd 15 . . . . . 6 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1))
46 breq2 4689 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1) → ((abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4746ralbidv 3015 . . . . . . 7 (𝑦 = ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4847rspcev 3340 . . . . . 6 ((((abs‘(𝐹𝑗)) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
4922, 45, 48syl2anc 694 . . . . 5 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
5049ex 449 . . . 4 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦))
5150reximia 3038 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∃𝑗𝑍𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
52 rexcom 3128 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
5351, 52sylib 208 . 2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
546, 53syl 17 1 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  abscabs 14018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020
This theorem is referenced by:  caubnd  14142
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