Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccatmulgnn0dir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatmulgnn0dir 29801
Description: Concatenation of words follow the rule mulgnn0dir 17290 (although applying mulgnn0dir 17290 would require 𝑆 to be a set). In this case 𝐴 is ⟨“𝐾”⟩ to the power 𝑀 in the free monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ccatmulgnn0dir.a 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.b 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.c 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.k (𝜑𝐾𝑆)
ccatmulgnn0dir.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
ccatmulgnn0dir.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
ccatmulgnn0dir (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)

Proof of Theorem ccatmulgnn0dir
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatmulgnn0dir.a . . . . . . . . 9 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
21fveq2i 5989 . . . . . . . 8 (#‘𝐴) = (#‘((0..^𝑀) × {𝐾}))
3 fzofi 12499 . . . . . . . . 9 (0..^𝑀) ∈ Fin
4 snfi 7797 . . . . . . . . 9 {𝐾} ∈ Fin
5 hashxp 12941 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (#‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((#‘(0..^𝑀)) · (#‘{𝐾})))
63, 4, 5mp2an 703 . . . . . . . 8 (#‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((#‘(0..^𝑀)) · (#‘{𝐾}))
72, 6eqtri 2536 . . . . . . 7 (#‘𝐴) = ((#‘(0..^𝑀)) · (#‘{𝐾}))
8 ccatmulgnn0dir.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
9 hashfzo0 12937 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (#‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
11 ccatmulgnn0dir.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝑆)
12 hashsng 12881 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑆 → (#‘{𝐾}) = 1)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘{𝐾}) = 1)
1410, 13oveq12d 6443 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘(0..^𝑀)) · (#‘{𝐾})) = (𝑀 · 1))
157, 14syl5eq 2560 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) = (𝑀 · 1))
168nn0cnd 11106 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1716mulid1d 9810 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
1815, 17eqtrd 2548 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐴) = 𝑀)
19 ccatmulgnn0dir.b . . . . . . . . 9 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
2019fveq2i 5989 . . . . . . . 8 (#‘𝐵) = (#‘((0..^𝑁) × {𝐾}))
21 fzofi 12499 . . . . . . . . 9 (0..^𝑁) ∈ Fin
22 hashxp 12941 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (#‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((#‘(0..^𝑁)) · (#‘{𝐾})))
2321, 4, 22mp2an 703 . . . . . . . 8 (#‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((#‘(0..^𝑁)) · (#‘{𝐾}))
2420, 23eqtri 2536 . . . . . . 7 (#‘𝐵) = ((#‘(0..^𝑁)) · (#‘{𝐾}))
25 ccatmulgnn0dir.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
26 hashfzo0 12937 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
2827, 13oveq12d 6443 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘(0..^𝑁)) · (#‘{𝐾})) = (𝑁 · 1))
2924, 28syl5eq 2560 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑁 · 1))
3025nn0cnd 11106 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3130mulid1d 9810 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
3229, 31eqtrd 2548 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐵) = 𝑁)
3318, 32oveq12d 6443 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))
3433oveq2d 6441 . . 3 (𝜑 → (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) = (0..^(𝑀 + 𝑁)))
35 simpll 785 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → 𝜑)
36 simpr 475 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)))
3718oveq2d 6441 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^(#‘𝐴)) = (0..^𝑀))
3835, 37syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (0..^(#‘𝐴)) = (0..^𝑀))
3936, 38eleqtrd 2594 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
40 fconstg 5888 . . . . . . . 8 (𝐾𝑆 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
4111, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
421a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾}))
4342feq1d 5828 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾}))
4441, 43mpbird 245 . . . . . 6 (𝜑𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾})
45 fvconst 6212 . . . . . 6 ((𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴𝑖) = 𝐾)
4644, 45sylan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴𝑖) = 𝐾)
4735, 39, 46syl2anc 690 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (𝐴𝑖) = 𝐾)
48 simpll 785 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → 𝜑)
49 simplr 787 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
50 simpr 475 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)))
5118, 8eqeltrd 2592 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
5248, 51syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
5352nn0zd 11218 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
5432, 25eqeltrd 2592 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
5548, 54syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
5655nn0zd 11218 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
57 fzocatel 12263 . . . . . . 7 (((𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (#‘𝐴)) ∈ (0..^(#‘𝐵)))
5849, 50, 53, 56, 57syl22anc 1318 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (𝑖 − (#‘𝐴)) ∈ (0..^(#‘𝐵)))
5932oveq2d 6441 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^(#‘𝐵)) = (0..^𝑁))
6048, 59syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (0..^(#‘𝐵)) = (0..^𝑁))
6158, 60eleqtrd 2594 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (𝑖 − (#‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁))
62 fconstg 5888 . . . . . . . 8 (𝐾𝑆 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
6311, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
6419a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾}))
6564feq1d 5828 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾}))
6663, 65mpbird 245 . . . . . 6 (𝜑𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾})
67 fvconst 6212 . . . . . 6 ((𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ∧ (𝑖 − (#‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴))) = 𝐾)
6866, 67sylan 486 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖 − (#‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴))) = 𝐾)
6948, 61, 68syl2anc 690 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴))) = 𝐾)
7047, 69ifeqda 3974 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴)))) = 𝐾)
7134, 70mpteq12dva 4560 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴))))) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾))
72 ovex 6453 . . . . 5 (0..^𝑀) ∈ V
73 snex 4734 . . . . 5 {𝐾} ∈ V
7472, 73xpex 6734 . . . 4 ((0..^𝑀) × {𝐾}) ∈ V
751, 74eqeltri 2588 . . 3 𝐴 ∈ V
76 ovex 6453 . . . . 5 (0..^𝑁) ∈ V
7776, 73xpex 6734 . . . 4 ((0..^𝑁) × {𝐾}) ∈ V
7819, 77eqeltri 2588 . . 3 𝐵 ∈ V
79 ccatfval 13065 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴))))))
8075, 78, 79mp2an 703 . 2 (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴)))))
81 ccatmulgnn0dir.c . . 3 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
82 fconstmpt 4979 . . 3 ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾}) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
8381, 82eqtri 2536 . 2 𝐶 = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
8471, 80, 833eqtr4g 2573 1 (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  Vcvv 3077  ifcif 3939  {csn 4028  cmpt 4541   × cxp 4930  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6425  Fincfn 7715  0cc0 9689  1c1 9690   + caddc 9692   · cmul 9694  cmin 10015  0cn0 11045  cz 11116  ..^cfzo 12198  #chash 12843   ++ cconcat 13002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-1o 7321  df-oadd 7325  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-fin 7719  df-card 8522  df-cda 8747  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-nn 10774  df-n0 11046  df-z 11117  df-uz 11424  df-fz 12062  df-fzo 12199  df-hash 12844  df-concat 13010
This theorem is referenced by:  ofcccat  29802
  Copyright terms: Public domain W3C validator