Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccatmulgnn0dir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatmulgnn0dir 30949
 Description: Concatenation of words follow the rule mulgnn0dir 17792 (although applying mulgnn0dir 17792 would require 𝑆 to be a set). In this case 𝐴 is ⟨“𝐾”⟩ to the power 𝑀 in the free monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ccatmulgnn0dir.a 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.b 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.c 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.k (𝜑𝐾𝑆)
ccatmulgnn0dir.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
ccatmulgnn0dir.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
ccatmulgnn0dir (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)

Proof of Theorem ccatmulgnn0dir
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatmulgnn0dir.a . . . . . . . . 9 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
21fveq2i 6356 . . . . . . . 8 (♯‘𝐴) = (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾}))
3 fzofi 12987 . . . . . . . . 9 (0..^𝑀) ∈ Fin
4 snfi 8205 . . . . . . . . 9 {𝐾} ∈ Fin
5 hashxp 13433 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾})))
63, 4, 5mp2an 710 . . . . . . . 8 (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾}))
72, 6eqtri 2782 . . . . . . 7 (♯‘𝐴) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾}))
8 ccatmulgnn0dir.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
9 hashfzo0 13429 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
11 ccatmulgnn0dir.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝑆)
12 hashsng 13371 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑆 → (♯‘{𝐾}) = 1)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
1410, 13oveq12d 6832 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾})) = (𝑀 · 1))
157, 14syl5eq 2806 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) = (𝑀 · 1))
168nn0cnd 11565 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1716mulid1d 10269 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
1815, 17eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝑀)
19 ccatmulgnn0dir.b . . . . . . . . 9 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
2019fveq2i 6356 . . . . . . . 8 (♯‘𝐵) = (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾}))
21 fzofi 12987 . . . . . . . . 9 (0..^𝑁) ∈ Fin
22 hashxp 13433 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾})))
2321, 4, 22mp2an 710 . . . . . . . 8 (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾}))
2420, 23eqtri 2782 . . . . . . 7 (♯‘𝐵) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾}))
25 ccatmulgnn0dir.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
26 hashfzo0 13429 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
2827, 13oveq12d 6832 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾})) = (𝑁 · 1))
2924, 28syl5eq 2806 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑁 · 1))
3025nn0cnd 11565 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3130mulid1d 10269 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
3229, 31eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐵) = 𝑁)
3318, 32oveq12d 6832 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))
3433oveq2d 6830 . . 3 (𝜑 → (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (0..^(𝑀 + 𝑁)))
35 simpll 807 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝜑)
36 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
3718oveq2d 6830 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0..^𝑀))
3835, 37syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (0..^(♯‘𝐴)) = (0..^𝑀))
3936, 38eleqtrd 2841 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
40 fconstg 6253 . . . . . . . 8 (𝐾𝑆 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
4111, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
421a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾}))
4342feq1d 6191 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾}))
4441, 43mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾})
45 fvconst 6595 . . . . . 6 ((𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴𝑖) = 𝐾)
4644, 45sylan 489 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴𝑖) = 𝐾)
4735, 39, 46syl2anc 696 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑖) = 𝐾)
48 simpll 807 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝜑)
49 simplr 809 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
50 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
5118, 8eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5248, 51syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5352nn0zd 11692 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
5432, 25eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
5548, 54syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
5655nn0zd 11692 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
57 fzocatel 12746 . . . . . . 7 (((𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
5849, 50, 53, 56, 57syl22anc 1478 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
5932oveq2d 6830 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0..^𝑁))
6048, 59syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (0..^(♯‘𝐵)) = (0..^𝑁))
6158, 60eleqtrd 2841 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁))
62 fconstg 6253 . . . . . . . 8 (𝐾𝑆 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
6311, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
6419a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾}))
6564feq1d 6191 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾}))
6663, 65mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾})
67 fvconst 6595 . . . . . 6 ((𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ∧ (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
6866, 67sylan 489 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
6948, 61, 68syl2anc 696 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
7047, 69ifeqda 4265 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴)))) = 𝐾)
7134, 70mpteq12dva 4884 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾))
72 ovex 6842 . . . . 5 (0..^𝑀) ∈ V
73 snex 5057 . . . . 5 {𝐾} ∈ V
7472, 73xpex 7128 . . . 4 ((0..^𝑀) × {𝐾}) ∈ V
751, 74eqeltri 2835 . . 3 𝐴 ∈ V
76 ovex 6842 . . . . 5 (0..^𝑁) ∈ V
7776, 73xpex 7128 . . . 4 ((0..^𝑁) × {𝐾}) ∈ V
7819, 77eqeltri 2835 . . 3 𝐵 ∈ V
79 ccatfval 13565 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))))
8075, 78, 79mp2an 710 . 2 (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴)))))
81 ccatmulgnn0dir.c . . 3 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
82 fconstmpt 5320 . . 3 ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾}) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
8381, 82eqtri 2782 . 2 𝐶 = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
8471, 80, 833eqtr4g 2819 1 (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  ifcif 4230  {csn 4321   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   − cmin 10478  ℕ0cn0 11504  ℤcz 11589  ..^cfzo 12679  ♯chash 13331   ++ cconcat 13499 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-concat 13507 This theorem is referenced by:  ofcccat  30950
 Copyright terms: Public domain W3C validator