MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjadd 13672
Description: Complex conjugate distributes over addition. Proposition 10-3.4(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjadd ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐵)))

Proof of Theorem cjadd
StepHypRef Expression
1 readd 13657 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)))
2 imadd 13665 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
32oveq2d 6540 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵))) = (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))))
4 ax-icn 9848 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
54a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
6 imcl 13642 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
76adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
87recnd 9921 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
9 imcl 13642 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
109adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
1110recnd 9921 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
125, 8, 11adddid 9917 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵))))
133, 12eqtrd 2640 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵))))
141, 13oveq12d 6542 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
15 recl 13641 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
1615adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
1716recnd 9921 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
18 recl 13641 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1918adantl 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
2019recnd 9921 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
21 mulcl 9873 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
224, 8, 21sylancr 693 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
23 mulcl 9873 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
244, 11, 23sylancr 693 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
2517, 20, 22, 24addsub4d 10287 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))))
2614, 25eqtrd 2640 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))))
27 addcl 9871 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
28 remim 13648 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))))
2927, 28syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 + 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))))
30 remim 13648 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
31 remim 13648 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) = ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))))
3230, 31oveqan12d 6543 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))))
3326, 29, 323eqtr4d 2650 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 + 𝐵)) = ((∗‘𝐴) + (∗‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  ici 9791   + caddc 9792   · cmul 9794  cmin 10114  ccj 13627  cre 13628  cim 13629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-2 10923  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632
This theorem is referenced by:  cjsub  13680  cjreim  13691  cjaddi  13719  cjaddd  13751  sqabsadd  13813  sqreulem  13890  fsumcj  14326  efcj  14604  cnsrng  19542  atancj  24351  his7  27134  sigaraf  39492
  Copyright terms: Public domain W3C validator