HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  his7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem his7 27113
Description: Distributive law for inner product. Lemma 3.1(S7) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 31-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
his7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem his7
StepHypRef Expression
1 ax-his2 27106 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 + 𝐶) ·ih 𝐴) = ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐶 ·ih 𝐴)))
21fveq2d 5996 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 + 𝐶) ·ih 𝐴)) = (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐶 ·ih 𝐴))))
3 hicl 27103 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
4 hicl 27103 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
5 cjadd 13591 . . . . . 6 (((𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ·ih 𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) + (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
63, 4, 5syl2an 492 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ)) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) + (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
763impdir 1373 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐶 ·ih 𝐴))) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) + (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
82, 7eqtrd 2548 . . 3 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 + 𝐶) ·ih 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) + (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
983comr 1264 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐵 + 𝐶) ·ih 𝐴)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) + (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
10 hvaddcl 27035 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℋ)
11 ax-his1 27105 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 + 𝐶)) = (∗‘((𝐵 + 𝐶) ·ih 𝐴)))
1210, 11sylan2 489 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → (𝐴 ·ih (𝐵 + 𝐶)) = (∗‘((𝐵 + 𝐶) ·ih 𝐴)))
13123impb 1251 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 + 𝐶)) = (∗‘((𝐵 + 𝐶) ·ih 𝐴)))
14 ax-his1 27105 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)))
15143adant3 1073 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)))
16 ax-his1 27105 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴)))
17163adant2 1072 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐶) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴)))
1815, 17oveq12d 6449 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐶)) = ((∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) + (∗‘(𝐶 ·ih 𝐴))))
199, 13, 183eqtr4d 2558 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  cfv 5694  (class class class)co 6431  cc 9693   + caddc 9698  ccj 13546  chil 26942   + cva 26943   ·ih csp 26945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6728  ax-resscn 9752  ax-1cn 9753  ax-icn 9754  ax-addcl 9755  ax-addrcl 9756  ax-mulcl 9757  ax-mulrcl 9758  ax-mulcom 9759  ax-addass 9760  ax-mulass 9761  ax-distr 9762  ax-i2m1 9763  ax-1ne0 9764  ax-1rid 9765  ax-rnegex 9766  ax-rrecex 9767  ax-cnre 9768  ax-pre-lttri 9769  ax-pre-lttrn 9770  ax-pre-ltadd 9771  ax-pre-mulgt0 9772  ax-hfvadd 27023  ax-hfi 27102  ax-his1 27105  ax-his2 27106
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5658  df-fun 5696  df-fn 5697  df-f 5698  df-f1 5699  df-fo 5700  df-f1o 5701  df-fv 5702  df-riota 6393  df-ov 6434  df-oprab 6435  df-mpt2 6436  df-er 7509  df-en 7722  df-dom 7723  df-sdom 7724  df-pnf 9835  df-mnf 9836  df-xr 9837  df-ltxr 9838  df-le 9839  df-sub 10022  df-neg 10023  df-div 10437  df-2 10837  df-cj 13549  df-re 13550  df-im 13551
This theorem is referenced by:  normlem0  27132  normlem8  27140  pjadjii  27699  lnopunilem1  28035  hmops  28045  cnlnadjlem6  28097  adjlnop  28111  adjadd  28118  hstoh  28257
  Copyright terms: Public domain W3C validator