Theorem cnsrng 19903

Description: The complex numbers form a *-ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnsrng	⊢ ℂfld ∈ *-Ring

Proof of Theorem cnsrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 19873	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
3		cnfldadd 19874	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → + = (+g‘ℂfld))
5		cnfldmul 19875	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
7		cnfldcj 19876	. . . 4 ⊢ ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ∗ = (*𝑟‘ℂfld))
9		cnring 19891	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
11		cjcl 13965	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
12	11	adantl 473	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘𝑥) ∈ ℂ)
13		cjadd 14001	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 + 𝑦)) = ((∗‘𝑥) + (∗‘𝑦)))
14	13	3adant1 1122	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 + 𝑦)) = ((∗‘𝑥) + (∗‘𝑦)))
15		mulcom 10135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
16	15	fveq2d 6308	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = (∗‘(𝑦 · 𝑥)))
17		cjmul 14002	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑦 · 𝑥)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
18	17	ancoms 468	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑦 · 𝑥)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
19	16, 18	eqtrd 2758	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
20	19	3adant1 1122	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑥 · 𝑦)) = ((∗‘𝑦) · (∗‘𝑥)))
21		cjcj 14000	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝑥)) = 𝑥)
22	21	adantl 473	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∗‘(∗‘𝑥)) = 𝑥)
23	2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 20, 22	issrngd 18984	. 2 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ *-Ring)
24	23	trud 1606	1 ⊢ ℂfld ∈ *-Ring

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1596  ⊤wtru 1597   ∈ wcel 2103  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  ℂcc 10047   + caddc 10052   · cmul 10054  ∗ccj 13956  Basecbs 15980  +_gcplusg 16064  ._rcmulr 16065  *_𝑟cstv 16066  Ringcrg 18668  *-Ringcsr 18967  ℂ_fldccnfld 19869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-addf 10128  ax-mulf 10129

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-tpos 7472  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-mhm 17457  df-grp 17547  df-ghm 17780  df-cmn 18316  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-cring 18671  df-oppr 18744  df-rnghom 18838  df-staf 18968  df-srng 18969  df-cnfld 19870

This theorem is referenced by: (None)