MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfsum 14479
Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that 𝐹(𝑘) is a collection of functions with implicit parameter 𝑘, each of which converges to 𝐵(𝑘) as 𝑛 ⇝ +∞. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climfsum.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climfsum.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climfsum.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
climfsum.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹𝐵)
climfsum.6 (𝜑𝐻𝑊)
climfsum.7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑛𝑍)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
climfsum.8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛))
Assertion
Ref Expression
climfsum (𝜑𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑛,𝐻   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem climfsum
StepHypRef Expression
1 climfsum.8 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛))
21mpteq2dva 4704 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)))
3 climfsum.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 uzssz 11651 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
53, 4eqsstri 3614 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℤ
6 zssre 11328 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
75, 6sstri 3592 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ ℝ)
9 climfsum.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
10 fvex 6158 . . . . . 6 (𝐹𝑛) ∈ V
1110a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝐴)) → (𝐹𝑛) ∈ V)
12 climfsum.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹𝐵)
13 climfsum.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1413adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
15 climrel 14157 . . . . . . . . . 10 Rel ⇝
1615brrelexi 5118 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵𝐹 ∈ V)
1712, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹 ∈ V)
18 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛))
193, 18climmpt 14236 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵))
2014, 17, 19syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵))
2112, 20mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵)
22 climfsum.7 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑛𝑍)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2322anassrs 679 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2423, 18fmptd 6340 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
253, 14, 24rlimclim 14211 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝ 𝐵))
2621, 25mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 𝐵)
278, 9, 11, 26fsumrlim 14470 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘𝐴 𝐵)
289adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐴 ∈ Fin)
2922anass1rs 848 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
3028, 29fsumcl 14397 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
31 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛))
3230, 31fmptd 6340 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)):𝑍⟶ℂ)
333, 13, 32rlimclim 14211 . . . 4 (𝜑 → ((𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝𝑟 Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵))
3427, 33mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
352, 34eqbrtrd 4635 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
36 climfsum.6 . . 3 (𝜑𝐻𝑊)
37 eqid 2621 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛))
383, 37climmpt 14236 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐻𝑊) → (𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵))
3913, 36, 38syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐻𝑛)) ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵))
4035, 39mpbird 247 1 (𝜑𝐻 ⇝ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  wss 3555   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  Fincfn 7899  cc 9878  cr 9879  cz 11321  cuz 11631  cli 14149  𝑟 crli 14150  Σcsu 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351
This theorem is referenced by:  itg1climres  23387  plyeq0lem  23870
  Copyright terms: Public domain W3C validator