MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetcusp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmetcusp1 23052
Description: If the uniform set of a complete metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cmetcusp1.x 𝑋 = (Base‘𝐹)
cmetcusp1.d 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
cmetcusp1.u 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cmetcusp1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem cmetcusp1
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmsms 23048 . . . 4 (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐹 ∈ MetSp)
2 msxms 22164 . . . 4 (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
4 cmetcusp1.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐹)
5 cmetcusp1.d . . . 4 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
6 cmetcusp1.u . . . 4 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
74, 5, 6xmsusp 22279 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
83, 7syl3an2 1357 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
9 simpl3 1064 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑈 = (metUnif‘𝐷))
109fveq2d 6154 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (CauFilu𝑈) = (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
1110eleq2d 2689 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))))
12 simpl1 1062 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑋 ≠ ∅)
134, 5cmscmet 23046 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
14 cmetmet 22987 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15 metxmet 22044 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17163ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1817adantr 481 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
19 simpr 477 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
20 cfilucfil4 23021 . . . . . 6 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
2112, 18, 19, 20syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
2211, 21bitrd 268 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
23 eqid 2626 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2423iscmet 22985 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
2524simprbi 480 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
2613, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
27 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘𝐹) = (TopOpen‘𝐹)
2827, 4, 5xmstopn 22161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
293, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ CMetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
3029oveq1d 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ CMetSp → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) = ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐))
3130neeq1d 2855 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ CMetSp → (((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3231ralbidv 2985 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp → (∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3326, 32mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ CMetSp → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)
3433r19.21bi 2932 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)
3534ex 450 . . . . . 6 (𝐹 ∈ CMetSp → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
36353ad2ant2 1081 . . . . 5 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3736adantr 481 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3822, 37sylbid 230 . . 3 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3938ralrimiva 2965 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → ∀𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
404, 6, 27iscusp2 22011 . 2 (𝐹 ∈ CUnifSp ↔ (𝐹 ∈ UnifSp ∧ ∀𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)))
418, 39, 40sylanbrc 697 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ CUnifSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  c0 3896   × cxp 5077  cres 5081  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  distcds 15866  TopOpenctopn 15998  ∞Metcxmt 19645  Metcme 19646  MetOpencmopn 19650  metUnifcmetu 19651  Filcfil 21554   fLim cflim 21643  UnifStcuss 21962  UnifSpcusp 21963  CauFiluccfilu 21995  CUnifSpccusp 22006  ∞MetSpcxme 22027  MetSpcmt 22028  CauFilccfil 22953  CMetcms 22955  CMetSpccms 23032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12120  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-metu 19659  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-fil 21555  df-ust 21909  df-utop 21940  df-usp 21966  df-cfilu 21996  df-cusp 22007  df-xms 22030  df-ms 22031  df-cfil 22956  df-cmet 22958  df-cms 23035
This theorem is referenced by:  cnfldcusp  23056  recusp  23073
  Copyright terms: Public domain W3C validator