Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetcusp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmetcusp1 23270
 Description: If the uniform set of a complete metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cmetcusp1.x 𝑋 = (Base‘𝐹)
cmetcusp1.d 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
cmetcusp1.u 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cmetcusp1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem cmetcusp1
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmsms 23266 . . . 4 (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐹 ∈ MetSp)
2 msxms 22381 . . . 4 (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
4 cmetcusp1.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐹)
5 cmetcusp1.d . . . 4 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
6 cmetcusp1.u . . . 4 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
74, 5, 6xmsusp 22496 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
83, 7syl3an2 1473 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
9 simpl3 1208 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑈 = (metUnif‘𝐷))
109fveq2d 6308 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (CauFilu𝑈) = (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
1110eleq2d 2789 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))))
12 simpl1 1204 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑋 ≠ ∅)
134, 5cmscmet 23264 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
14 cmetmet 23205 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15 metxmet 22261 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17163ad2ant2 1126 . . . . . . 7 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1817adantr 472 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
19 simpr 479 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
20 cfilucfil4 23239 . . . . . 6 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
2112, 18, 19, 20syl3anc 1439 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
2211, 21bitrd 268 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
23 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2423iscmet 23203 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
2524simprbi 483 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
2613, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
27 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘𝐹) = (TopOpen‘𝐹)
2827, 4, 5xmstopn 22378 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
293, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ CMetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
3029oveq1d 6780 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ CMetSp → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) = ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐))
3130neeq1d 2955 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ CMetSp → (((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3231ralbidv 3088 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp → (∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3326, 32mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ CMetSp → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)
3433r19.21bi 3034 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)
3534ex 449 . . . . . 6 (𝐹 ∈ CMetSp → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
36353ad2ant2 1126 . . . . 5 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3736adantr 472 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3822, 37sylbid 230 . . 3 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3938ralrimiva 3068 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → ∀𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
404, 6, 27iscusp2 22228 . 2 (𝐹 ∈ CUnifSp ↔ (𝐹 ∈ UnifSp ∧ ∀𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)))
418, 39, 40sylanbrc 701 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ CUnifSp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2896  ∀wral 3014  ∅c0 4023   × cxp 5216   ↾ cres 5220  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  distcds 16073  TopOpenctopn 16205  ∞Metcxmt 19854  Metcme 19855  MetOpencmopn 19859  metUnifcmetu 19860  Filcfil 21771   fLim cflim 21860  UnifStcuss 22179  UnifSpcusp 22180  CauFiluccfilu 22212  CUnifSpccusp 22223  ∞MetSpcxme 22244  MetSpcmt 22245  CauFilccfil 23171  CMetcms 23173  CMetSpccms 23250 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ico 12295  df-topgen 16227  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-metu 19868  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-fil 21772  df-ust 22126  df-utop 22157  df-usp 22183  df-cfilu 22213  df-cusp 22224  df-xms 22247  df-ms 22248  df-cfil 23174  df-cmet 23176  df-cms 23253 This theorem is referenced by:  cnfldcusp  23274  recusp  23291
 Copyright terms: Public domain W3C validator